Calcule a intensidade de campo elétrico E no ponto (0,0,0) produzido pelas cargas Q1=5 mu C em(-5,2,-3), Q2=-12 mu C em (2,3,-2) e Q3=-6 mu C em (4,-1,-2). Após, calcule a força que uma carga Q4=3 n n terá se colocada no ponto (0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a intensidade do campo elétrico E no ponto (0,0,0) causado por três cargas diferentes e depois determinar a força que uma quarta carga vai experimentar nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico e força elétrica, baseados na Lei de Coulomb e no princípio da superposição. Precisamos das posições das cargas, seus valores e aplicar as fórmulas corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma carga pontual Q em um ponto no espaço é dado por:
E = k Qr^2 r
Onde:
  • k é a constante de Coulomb ( k approx 8,988 times 10^9 , N,m²/C²²²),
  • Q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo,
  • r é o vetor unitário na direção do campo.
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto (0,0,0).

Passo 3

Campo elétrico da carga Q1 = 5,muC localizada em (-5, 2, -3)
Primeiro, calculamos a distância r1 entre Q1 e o ponto (0,0,0):
r1 = raiz(-5)^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz25 + 4 + 9 = raiz38 approx 6,16,m
O vetor posição de Q1 para o ponto é r1 = (5, -2, 3) (sinal invertido porque vamos do Q para o ponto).
Agora, o vetor unitário r1:
r1 = r1r1 = (56,16, -26,16, 36,16) approx (0,811, -0,325, 0,486)
Calculando o campo elétrico E1:
E1 = k Q1r1^2 r1 = 8,988 times 10^9 times 5 times 10^-638 times r1
Simplificando:
E1 approx 8,988 times 10^9 times 5 times 10^-638 times (0,811, -0,325, 0,486)
E1 approx (9,54 times 10^3, -3,82 times 10^3, 5,73 times 10^3),N/C

Passo 4

Campo elétrico da carga Q2 = -12,muC localizada em (2, 3, -2)
Calculamos a distância r2:
r2 = raiz2^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz4 + 9 + 4 = raiz17 approx 4,12,m
Vetor posição de Q2 para o ponto: r2 = (-2, -3, 2)
Vetor unitário r2:
r2 = r2r2 = (-24,12, -34,12, 24,12) approx (-0,485, -0,728, 0,485)
Campo elétrico E2:
E2 = k Q2r2^2 r2 = 8,988 times 10^9 times -12 times 10^-617 times r2
Simplificando:
E2 approx 8,988 times 10^9 times -12 times 10^-617 times (-0,485, -0,728, 0,485)
E2 approx (3,05 times 10^4, 4,56 times 10^4, -3,05 times 10^4),N/C

Passo 5

Campo elétrico da carga Q3 = -6,muC localizada em (4, -1, -2)
Calculamos a distância r3:
r3 = raiz4^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21 approx 4,58,m
Vetor posição de Q3 para o ponto: r3 = (-4, 1, 2)
Vetor unitário r3:
r3 = r3r3 = (-44,58, 14,58, 24,58) approx (-0,873, 0,218, 0,437)
Campo elétrico E3:
E3 = k Q3r3^2 r3 = 8,988 times 10^9 times -6 times 10^-621 times r3
Simplificando:
E3 approx 8,988 times 10^9 times -6 times 10^-621 times (-0,873, 0,218, 0,437)
E3 approx (2,24 times 10^4, -5,6 times 10^3, -1,12 times 10^4),N/C

Passo 6

Agora, somamos os campos elétricos individuais para encontrar o campo elétrico total no ponto (0,0,0):
Etotal = E1 + E2 + E3
Substituindo os valores:
Etotal = (9,54 times 10^3 + 3,05 times 10^4 + 2,24 times 10^4, -3,82 times 10^3 + 4,56 times 10^4 - 5,6 times 10^3, 5,73 times 10^3 - 3,05 times 10^4 - 1,12 times 10^4)
Calculando cada componente:
  • Componente x:
9,54 times 10^3 + 3,05 times 10^4 + 2,24 times 10^4 = 9,54 times 10^3 + 30,5 times 10^3 + 22,4 times 10^3 = 62,44 times 10^3,N/C
  • Componente y:
-3,82 times 10^3 + 4,56 times 10^4 - 5,6 times 10^3 = -3,82 times 10^3 + 45,6 times 10^3 - 5,6 times 10^3 = 36,18 times 10^3,N/C
  • Componente z:
5,73 times 10^3 - 3,05 times 10^4 - 1,12 times 10^4 = 5,73 times 10^3 - 30,5 times 10^3 - 11,2 times 10^3 = -35,0 times 10^3,N/C
Portanto,
Etotal = (6,244 times 10^4, 3,618 times 10^4, -3,5 times 10^4),N/C

Passo 7

Agora, vamos calcular a força F que uma carga Q4 = 3,nC terá no ponto (0,0,0) devido ao campo elétrico total.
Usamos a fórmula:
F = Q4 Etotal
Convertendo Q4 para coulombs:
Q4 = 3,nC = 3 times 10^-9,C
Multiplicando pelo campo elétrico:
F = 3 times 10^-9 times (6,244 times 10^4, 3,618 times 10^4, -3,5 times 10^4)
F = (1,873 times 10^-4, 1,085 times 10^-4, -1,05 times 10^-4),N

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto (0,0,0) é:
Etotal = (6,244 times 10^4,N/C, 3,618 times 10^4,N/C, -3,5 times 10^4,N/C)
E a força que a carga Q4=3,nC experimenta nesse ponto é:
F = (1,873 times 10^-4,N, 1,085 times 10^-4,N, -1,05 times 10^-4,N)

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