Determine o campo elétrico em um ponto
a uma certa distância de uma superfície infinita carregada homogeneamente com densidade de carga superficial
, utilizando a lei de Coulomb?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o campo elétrico em um ponto $ P $ que está a uma certa distância de uma superfície infinita com carga distribuída de forma homogênea, ou seja, com densidade de carga superficial $ \sigma $. Isso está dentro do conteúdo de Eletrostática, especificamente usando a Lei de Coulomb para calcular campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de carga superficial $ \sigma $. Ela representa a quantidade de carga elétrica por unidade de área na superfície carregada. No nosso caso, a superfície é infinita, o que significa que ela se estende para sempre em todas as direções.
Passo 3
Agora, precisamos aplicar a Lei de Coulomb para determinar o campo elétrico devido a essa distribuição de carga. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ devido a uma carga pontual $ q $ a uma distância $ r $ é dado por:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 4
Entretanto, como estamos lidando com uma superfície infinita, precisamos considerar a contribuição de todas as pequenas cargas na superfície. Para simplificar, vamos pensar em elementos infinitesimais de área $ dA $ na superfície, cada um com uma carga $ dq = \sigma dA $.
Passo 5
Cada elemento de carga $ dq $ cria um campo elétrico $ d\mathbf{E} $ no ponto $ P $, que podemos calcular usando a Lei de Coulomb:
Passo 6
Para encontrar o campo total $ \mathbf{E} $, integramos todos esses pequenos campos $ d\mathbf{E} $ sobre toda a superfície carregada. Devido à simetria da superfície infinita, as componentes horizontais dos campos se cancelam, e apenas a componente perpendicular contribui para o campo total.
Passo 7
Após realizar a integração, levando em conta a simetria do problema, o campo elétrico resultante é constante em magnitude e perpendicular à superfície carregada. A expressão final do campo elétrico para uma superfície infinita carregada é:
onde $ \hat{\mathbf{n}} $ é o vetor unitário normal à superfície.
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por:
Isso significa que o campo elétrico é perpendicular à superfície carregada e sua intensidade depende da densidade de carga superficial $ \sigma $ e da permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $.