Dadas as 4 equações de Maxwell em seu formato integral, aplique os teoremas necessários e demonstre a obtenção das 4 equações de Maxwell em seu formato diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para transformar as 4 equações de Maxwell na forma integral para a forma diferencial. Isso faz parte da matéria de Eletromagnetismo, especificamente estudando como essas equações descrevem os campos elétrico e magnético. Para resolver isso, vamos precisar dos teoremas de cálculo vetorial, como o Teorema de Gauss e o Teorema de Stokes, que nos ajudam a passar das integrais para as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as 4 equações de Maxwell na forma integral:
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Lei de Gauss para o campo elétrico:
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Lei de Gauss para o campo magnético:
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Lei de Faraday da indução:
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Lei de Ampère-Maxwell:
Vamos transformar cada uma dessas usando os teoremas apropriados.
Passo 3
1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
Aqui, usamos o Teorema de Gauss, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial à integral de volume de sua divergência.
Aplicando o teorema:
Comparando com a lei de Gauss integral:
Como isso vale para qualquer volume $ V $, podemos igualar as densidades:
2. Lei de Gauss para o campo magnético:
Novamente, aplicamos o Teorema de Gauss:
Comparando com a lei de Gauss integral para o magnetismo:
Portanto:
3. Lei de Faraday da indução:
Aqui, usamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial à integral de superfície de seu rotacional.
Aplicando o teorema:
Comparando com a lei de Faraday:
Assumindo que a superfície $ S $ é arbitrária e que a variação temporal pode ser trazida para dentro da integral:
4. Lei de Ampère-Maxwell:
Também usamos o Teorema de Stokes aqui:
Comparando com a lei de Ampère-Maxwell:
Novamente, como isso vale para qualquer superfície $ S $, igualamos as densidades:
Resposta
Então, as 4 equações de Maxwell na forma diferencial são: