Dadas as 4 equações de Maxwell em seu formato integral, aplique os teoremas necessários e demonstre a obtenção das 4 equações de Maxwell em seu formato diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para transformar as 4 equações de Maxwell na forma integral para a forma diferencial. Isso faz parte da matéria de Eletromagnetismo, especificamente estudando como essas equações descrevem os campos elétrico e magnético. Para resolver isso, vamos precisar dos teoremas de cálculo vetorial, como o Teorema de Gauss e o Teorema de Stokes, que nos ajudam a passar das integrais para as derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as 4 equações de Maxwell na forma integral:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    ointpartial Sigma E cdot dA = 1varepsilon0 integralSigma rho , dV
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
    ointpartial Sigma B cdot dA = 0
  3. Lei de Faraday da indução:
    ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    ointpartial S B cdot dl = mu0 integralS J cdot dA + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
Vamos transformar cada uma dessas usando os teoremas apropriados.

Passo 3

1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
Aqui, usamos o Teorema de Gauss, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial à integral de volume de sua divergência.
Aplicando o teorema:
ointpartial V E cdot dA = integralV (nabla cdot E) , dV
Comparando com a lei de Gauss integral:
integralV (nabla cdot E) , dV = 1varepsilon0 integralV rho , dV
Como isso vale para qualquer volume $ V $, podemos igualar as densidades:
V
2. Lei de Gauss para o campo magnético:
Novamente, aplicamos o Teorema de Gauss:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Comparando com a lei de Gauss integral para o magnetismo:
ointpartial V B cdot dA = integralV (nabla cdot B) , dV
Portanto:
integralV (nabla cdot B) , dV = 0
3. Lei de Faraday da indução:
Aqui, usamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial à integral de superfície de seu rotacional.
Aplicando o teorema:
nabla cdot B = 0
Comparando com a lei de Faraday:
ointpartial S E cdot dl = integralS (nabla times E) cdot dA
Assumindo que a superfície $ S $ é arbitrária e que a variação temporal pode ser trazida para dentro da integral:
integralS (nabla times E) cdot dA = -ddt integralS B cdot dA
4. Lei de Ampère-Maxwell:
Também usamos o Teorema de Stokes aqui:
S
Comparando com a lei de Ampère-Maxwell:
nabla times E = -partial Bpartial t
Novamente, como isso vale para qualquer superfície $ S $, igualamos as densidades:
ointpartial S B cdot dl = integralS (nabla times B) cdot dA

Resposta

Então, as 4 equações de Maxwell na forma diferencial são:
  1. nabla cdot E = dfracrhovarepsilon0
  2. nabla cdot B = 0
  3. nabla times E = -dfracpartial Bpartial t
  4. nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 dfracpartial Epartial t

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