Determine o campo elétrico em um ponto
a uma certa distância de uma casca esférica carregada homogeneamente com densidade de carga superficial
, utilizando a lei de Coulomb?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o campo elétrico em um ponto $ P $ que está a uma certa distância de uma casca esférica carregada de forma homogênea, com densidade de carga superficial $ \sigma $. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb. Vamos precisar entender conceitos de eletrostática, como campo elétrico, distribuição de carga e simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Coulomb nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $).
No caso de uma casca esférica carregada, precisamos encontrar o campo elétrico resultante em um ponto $ P $ devido a todas as pequenas cargas na casca. Devido à simetria esférica, podemos simplificar a integração considerando que as contribuições de campo em direções diferentes se cancelam, exceto na direção radial.
Passo 3
Vamos considerar duas situações:
-
Ponto $ P $ fora da casca ($ r > R $):
Quando o ponto está fora da casca, o campo elétrico é equivalente ao campo criado por uma carga pontual $ Q $ concentrada no centro da casca. A carga total $ Q $ da casca é:Assim, o campo elétrico em $ P $ é: -
Ponto $ P $ dentro da casca ($ r < R $):
Se o ponto está dentro da casca, devido à simetria e à distribuição homogênea de carga, todas as contribuições de campo se cancelam, resultando em:
Passo 4
Portanto, resumindo:
-
Para $ r > R $:
-
Para $ r < R $:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: