Calcule o interior, o fecho, a fronteira, ponto isolado e o conjunto derivado de cada um dos seguintes subconjuntos de \mathbb{R} : S=(-3,3)
Passo 1
O enunciado pede que, para o conjunto S = (-3,3)\subset\mathbb{R}, eu calcule os seguintes objetos:
o interior de S;
o fecho (fechamento) de S;
a fronteira de S;
os pontos isolados de S;
o conjunto derivado (conjunto de pontos de acumulação) de S.
Informações dadas: o conjunto é a abertura intervalo ( -3, 3 ), ou seja, todos os números reais x tais que -3<x<3. Não há figuras ou dados adicionais.
Passo 2
Definição e cálculo do interior de S.
Definição: o interior de um conjunto A\subset\mathbb{R} é o conjunto de todos os pontos x\in A para os quais existe um raio r>0 tal que a vizinhança aberta (x-r,x+r) está inteiramente contida em A. Em símbolos:
Tome qualquer x\in(-3,3). Então -3<x<3. As distâncias de x às bordas são 3-x>0 e x-(-3)=x+3>0. Escolho
r=\frac{1}{2}\min\{3-x,\;x+3\}.
Esse r é positivo e garante que (x-r,x+r)\subset(-3,3), porque o intervalo aberto centrado em x com raio r não alcança as extremidades -3 nem 3. Logo todo x\in(-3,3) é ponto interior de S.
Pontos fora de (-3,3) não interessam para interior porque interior é subconjunto de S. Em particular, -3 e 3 não pertencem a S e portanto não podem estar no interior.
Conclusão: todos os pontos de S são pontos interiores, logo
\operatorname{int}(S)=(-3,3).
Passo 3
Definição e cálculo do fecho (fechamento) de S.
Definição: o fecho de A\subset\mathbb{R}, denotado \overline{A}, é o menor conjunto fechado que contém A. Equivalentemente, é o conjunto de todos os pontos x tais que toda vizinhança de x intercepta A. Em símbolos:
Primeiro, qualquer ponto x com -3<x<3 pertence a \overline{S} porque S\subset\overline{S}.
Agora verifiquemos as extremidades -3 e 3. Seja x=3. Tome qualquer r>0. O ponto 3-\frac{r}{2} satisfaz 3-\frac{r}{2}\in(3-r,3+r) e 3-\frac{r}{2}<3, portanto 3-\frac{r}{2}\in S. Assim (3-r,3+r)\cap S\neq\varnothing para todo r>0, logo 3\in\overline{S}. O mesmo raciocínio com x=-3 mostra que -3\in\overline{S}.
Para x tal que |x|>3 (ou seja, x<-3 ou x>3), existe uma distância positiva d=\min\{|x-3|,|x+3|\}>0. Tomando r=d/2 obtemos (x-r,x+r)\cap S=\varnothing. Então tais x não estão no fecho.
Portanto o fecho é o intervalo fechado que adiciona as extremidades:
\overline{S}=[-3,3].
Passo 4
Definição e cálculo da fronteira de S.
Definição: a fronteira de A, denotada \partial A, é dada por
É o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança intersecta tanto A quanto o complementar de A.
Usando os resultados anteriores \overline{S}=[-3,3] e \operatorname{int}(S)=(-3,3), temos
\partial S=[-3,3]\setminus(-3,3)=\{-3,\,3\}.
Também se pode verificar diretamente: em -3 e 3 qualquer vizinhança contém pontos de S (pontos mais próximos) e também pontos fora de S (por exemplo, pontos menores que -3 ou maiores que 3), então são fronteira; pontos interiores não são fronteira porque há vizinhanças inteiramente contidas em S.
Passo 5
Definição e cálculo dos pontos isolados de S.
Definição: um ponto x\in A é isolado se existe r>0 tal que (x-r,x+r)\cap A=\{x\}. Ou seja, existe uma vizinhança de x que contém nenhum outro ponto de A além de x.
Para S=(-3,3), tome qualquer x\in(-3,3). Para qualquer r>0 suficientemente pequeno, por exemplo r escolhido como no Passo 2, o intervalo (x-r,x+r) contém infinitos pontos diferentes de x que também pertencem a S. Portanto nenhum x\in S é isolado. Conclusão:
\text{o conjunto de pontos isolados de }S \text{ é } \varnothing.é
Passo 6
Definição e cálculo do conjunto derivado (conjunto de pontos de acumulação) de S.
Definição: um ponto x\in\mathbb{R} é ponto de acumulação (ou ponto derivado) de A se toda vizinhança de x contém algum ponto de A diferente de x. O conjunto derivado de A é denotado A'.
Análise para S=(-3,3):
Se x\in(-3,3), toda vizinhança de x contém outros pontos de S distintos de x (intervalos têm infinitos pontos), logo x é ponto de acumulação.
Se x=3 (ou x=-3), qualquer vizinhança de x contém pontos de S (por exemplo, 3-\frac{r}{2} para r>0), e esses pontos são diferentes de x porque x\notin S. Portanto 3 e -3 também são pontos de acumulação.
Se |x|>3, existe uma vizinhança de x sem pontos de S, logo tais x não são pontos de acumulação.
Assim o conjunto derivado é
S'=[-3,3].
Observação útil: para este conjunto aberto, o fecho coincide com o conjunto formado por S mais seus pontos de acumulação; de fato \overline{S}=S\cup S'=[-3,3], e aqui S' já contém as extremidades.
Resposta
\operatorname{int}(S)=(-3,3) \overline{S}=[-3,3] \partial S=\{-3,3\} \text{Pontos isolados de }S=\varnothing