Prove que, para quaisquer que sejam A, B \subset \mathbb{R} :
\operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B \subset \operatorname{int}(A \cup B)

Passo 1

O enunciado pede que provemos a inclusão \operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B \subset \operatorname{int}(A \cup B) para quaisquer conjuntos A,B \subset \mathbb{R}.
Informações dadas: A e B são subconjuntos de \mathbb{R}.
O que devemos mostrar: todo ponto que pertence a \operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B também pertence a \operatorname{int}(A \cup B).

Passo 2

Definição usada (explicação didática): um ponto x pertence à \operatorname{int} S de um conjunto S\subset\mathbb{R} se existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está contido em S. Esse intervalo é uma vizinhança aberta de x. Em palavras: x é ponto interior de S quando dá para colocar um pequeno intervalo ao redor de x que fique inteiramente dentro de S.
Estratégia do argumento (passo a passo para fazer na prova): para provar uma inclusão X\subset Y costuma-se pegar um elemento arbitrário x\in X e mostrar que x\in Y. Aqui aplicamos isso a X=\operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B e Y=\operatorname{int}(A\cup B).

Passo 3

Pegue um ponto arbitrário x\in \operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B. Pela definição da união, existem duas possibilidades: ou x\in \operatorname{int} A ou x\in \operatorname{int} B. Vamos tratar as duas possibilidades (casos).

Passo 4

Caso 1: suponha x\in \operatorname{int} A. Então, pela definição de interior, existe \varepsilon>0 tal que
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A.
Como A\subset A\cup B, temos
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A\subset A\cup B,
logo (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A\cup B. Isso mostra que existe uma vizinhança aberta de x contida em A\cup B, ou seja, x\in \operatorname{int}(A\cup B).

Passo 5

Caso 2: suponha x\in \operatorname{int} B. O raciocínio é idêntico: existe \delta>0 tal que
(x-\delta,x+\delta)\subset B,
e como B\subset A\cup B segue que (x-\delta,x+\delta)\subset A\cup B. Portanto x\in \operatorname{int}(A\cup B).

Passo 6

Como em ambos os casos (quando x\in \operatorname{int} A ou x\in \operatorname{int} B) concluímos que x\in \operatorname{int}(A\cup B), seguem que qualquer x\in \operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B pertence a \operatorname{int}(A\cup B). Assim a inclusão desejada está provada.
Comentário extra de aprendizagem (útil para prova): a prova é curta e se apoia apenas na definição de ponto interior e na observação óbvia A\subset A\cup B (e B\subset A\cup B). Em uma prova escreva exatamente: "se x\in\operatorname{int}A então existe \varepsilon>0 com (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A\subset A\cup B, logo x\in\operatorname{int}(A\cup B)"; e análogo para B. Isso é suficiente e elegante.
Exemplo para ver que a inclusão pode ser estrita: tome A=[0,1] e B=[1,2]. Então \operatorname{int}A=(0,1), \operatorname{int}B=(1,2), logo \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=(0,1)\cup(1,2), enquanto A\cup B=[0,2] e \operatorname{int}(A\cup B)=(0,2). Assim a inclusão é verdadeira e aqui é estrita.

Resposta

\operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B \subset \operatorname{int}(A \cup B)

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