Prove que, para quaisquer que sejam
:
Passo 1
O enunciado pede que provemos a inclusão
para quaisquer conjuntos
.
Informações dadas: e
são subconjuntos de
.
O que devemos mostrar: todo ponto que pertence a também pertence a
.
Informações dadas:
O que devemos mostrar: todo ponto que pertence a
Passo 2
Definição usada (explicação didática): um ponto
pertence à
de um conjunto
se existe
tal que o intervalo aberto
está contido em
. Esse intervalo é uma vizinhança aberta de
. Em palavras:
é ponto interior de
quando dá para colocar um pequeno intervalo ao redor de
que fique inteiramente dentro de
.
Estratégia do argumento (passo a passo para fazer na prova): para provar uma inclusão costuma-se pegar um elemento arbitrário
e mostrar que
. Aqui aplicamos isso a
e
.
Estratégia do argumento (passo a passo para fazer na prova): para provar uma inclusão
Passo 3
Pegue um ponto arbitrário
. Pela definição da união, existem duas possibilidades: ou
ou
. Vamos tratar as duas possibilidades (casos).
Passo 4
Caso 1: suponha
. Então, pela definição de interior, existe
tal que
Como
, temos
logo
. Isso mostra que existe uma vizinhança aberta de
contida em
, ou seja,
.
Passo 5
Caso 2: suponha
. O raciocínio é idêntico: existe
tal que
e como
segue que
. Portanto
.
Passo 6
Como em ambos os casos (quando
ou
) concluímos que
, seguem que qualquer
pertence a
. Assim a inclusão desejada está provada.
Comentário extra de aprendizagem (útil para prova): a prova é curta e se apoia apenas na definição de ponto interior e na observação óbvia (e
). Em uma prova escreva exatamente: "se
então existe
com
, logo
"; e análogo para
. Isso é suficiente e elegante.
Exemplo para ver que a inclusão pode ser estrita: tome e
. Então
,
, logo
, enquanto
e
. Assim a inclusão é verdadeira e aqui é estrita.
Comentário extra de aprendizagem (útil para prova): a prova é curta e se apoia apenas na definição de ponto interior e na observação óbvia
Exemplo para ver que a inclusão pode ser estrita: tome