(a) Calcule e interprete
e
(b) Mostre que
satisfaz a equação unidimensional do calor
em que
é constante.
(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou tem duas partes. Na primeira, a gente precisa calcular e interpretar as derivadas parciais
e
. Na segunda parte, temos que mostrar que
satisfaz a equação unidimensional do calor, que é
, onde
é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e equações diferenciais, especialmente a equação do calor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Essa notação representa a taxa de variação da temperatura
em relação ao tempo
, mantendo a posição
fixa. Em outras palavras, ela nos diz como a temperatura está mudando ao longo do tempo em um ponto específico no espaço.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Essa derivada parcial representa a taxa de variação da temperatura
em relação à posição
, mantendo o tempo
fixo. Ou seja, ela indica como a temperatura está mudando no espaço em um instante específico no tempo.
Passo 4
Para a segunda parte do exercício, precisamos mostrar que
satisfaz a equação unidimensional do calor:
. Essa equação descreve como a temperatura se propaga ao longo do espaço e do tempo, onde
é a difusividade térmica do material.
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que é
. Essa segunda derivada nos dá uma ideia da concavidade da função temperatura em relação à posição, ou seja, como a taxa de variação da temperatura no espaço está mudando.
Passo 6
Agora, substituímos
na equação do calor multiplicada por
e comparamos com
. Se ambas as expressões forem iguais, então mostramos que
satisfaz a equação unidimensional do calor.
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação unidimensional do calor
, confirmando que a temperatura evolui de acordo com essa relação.