(a) Calcule e interprete partial Tpartial t e partial Tpartial x
(b) Mostre que T satisfaz a equação unidimensional do calor partial Tpartial t=k partial^2 Tpartial x^2 em que k é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou tem duas partes. Na primeira, a gente precisa calcular e interpretar as derivadas parciais e . Na segunda parte, temos que mostrar que satisfaz a equação unidimensional do calor, que é , onde é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e equações diferenciais, especialmente a equação do calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Essa notação representa a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo , mantendo a posição fixa. Em outras palavras, ela nos diz como a temperatura está mudando ao longo do tempo em um ponto específico no espaço.

Passo 3

Agora, vamos calcular . Essa derivada parcial representa a taxa de variação da temperatura em relação à posição , mantendo o tempo fixo. Ou seja, ela indica como a temperatura está mudando no espaço em um instante específico no tempo.

Passo 4

Para a segunda parte do exercício, precisamos mostrar que satisfaz a equação unidimensional do calor: . Essa equação descreve como a temperatura se propaga ao longo do espaço e do tempo, onde é a difusividade térmica do material.

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é . Essa segunda derivada nos dá uma ideia da concavidade da função temperatura em relação à posição, ou seja, como a taxa de variação da temperatura no espaço está mudando.

Passo 6

Agora, substituímos na equação do calor multiplicada por e comparamos com . Se ambas as expressões forem iguais, então mostramos que satisfaz a equação unidimensional do calor.

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação unidimensional do calor , confirmando que a temperatura evolui de acordo com essa relação.

Exercícios relacionados