Dado o ponto P(-1,4) e f(x, y)=raizx^2+y^2, calcule:
(d) partial f(P)partial y
R: partial f(-1,4)partial y=4 raiz1717

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá o ponto e a função . A gente precisa calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Para isso, vamos precisar saber o que é derivada parcial e como calcular ela para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, como e . A derivada parcial em relação a mostra como a função muda quando só o muda, mantendo o constante. É tipo ver a inclinação da função na direção do .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = 12(x^2 + y^2)^-1/2 cdot 2y = yraizx^2 + y^2 em relação a . Para isso, usamos as regras de derivação. A função pode ser escrita como . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora que temos a fórmula da derivada parcial, vamos substituir as coordenadas do ponto partial fpartial yg|(-1,4) = 4raiz(-1)^2 + 4^2 = 4raiz1 + 16 = 4raiz17 :

Passo 5

Se você quiser deixar a fração mais “bonita” sem a raiz no denominador, podemos racionalizar:
4raiz17 = 4 raiz1717

Resposta

partial f(-1,4)partial y = 4 raiz1717

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