Mostre que as funções abaixo satisfazem a equação do calor
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação do calor, que é dada por:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e equações diferenciais parciais. Precisamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
e a segunda derivada de
em relação ao espaço
, e depois verificar se elas se relacionam conforme a equação do calor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dado que
, ao derivarmos em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
para obter a segunda derivada:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir esses resultados na equação do calor para verificar se a igualdade é verdadeira.
Substituindo:
Resposta
Como
, a função
satisfaz a equação do calor.