Mostre que as funções abaixo satisfazem a equação do calor partial zpartial t=c^2 partial^2 zpartial x^2
(a) z=e^-t sen(xc)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função partial zpartial t = c^2 partial^2 zpartial x^2 satisfaz a equação do calor, que é dada por:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e equações diferenciais parciais. Precisamos calcular a derivada de em relação ao tempo e a segunda derivada de em relação ao espaço , e depois verificar se elas se relacionam conforme a equação do calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial t = -e^-t sin(xc) em relação a , ou seja, .
Dado que , ao derivarmos em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial x = e^-t cdot ddx [ sin(xc) ] = e^-t cdot 1c cos(xc) em relação a partial^2 zpartial x^2 = e^-t cdot 1c cdot ddx [ cos(xc) ] = e^-t cdot 1c cdot ( -1c sin(xc) ) = -e^-tc^2 sin(xc) , ou seja, .
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a para obter a segunda derivada:

Passo 4

Agora que temos partial zpartial t = -e^-t sin(xc) e c^2 partial^2 zpartial x^2 = c^2 ( -e^-tc^2 sin(xc) ) = -e^-t sin(xc) , vamos substituir esses resultados na equação do calor para verificar se a igualdade é verdadeira.
Substituindo:

Resposta

Como , a função satisfaz a equação do calor.

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