Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função
em torno do eixo
, entre
e
, é dada por
E que o volume do sólido de resolução é dado por
Considere a função
, os pontos
e
, e faça o que se pede.
(b) Mostre que o volume
do sólido de revolução converge, e determine seu valor.
(b) Mostre que o volume
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que mostrar que o volume
de um sólido de revolução, gerado pela função
, entre
e
, converge e descobrir qual é esse valor. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um sólido de revolução em torno do eixo
:
Vamos precisar entender de integrais impróprias, já que o limite superior é infinito.
Passo 2
Primeiro, substituímos a função
na fórmula do volume:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral imprópria. Sabemos que uma integral de
converge se
. Aqui,
, então a integral deve convergir.
A antiderivada de
é:
Passo 4
Aplicamos os limites da integração de 1 até
:
Calculando os limites:
Então:
Resposta
O volume
do sólido de revolução converge e seu valor é
.