Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, entre x=a e x=b, é dada por
A=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
E que o volume do sólido de resolução é dado por
V=integrala^b pi cdot[f(x)]^2 d x
Considere a função f(x)=1x, os pontos a=1 e b=+infty, e faça o que se pede.
(b) Mostre que o volume V do sólido de revolução converge, e determine seu valor.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que mostrar que o volume V = integrala^b pi cdot [f(x)]^2 , dx de um sólido de revolução, gerado pela função , entre e , converge e descobrir qual é esse valor. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um sólido de revolução em torno do eixo :
Vamos precisar entender de integrais impróprias, já que o limite superior é infinito.

Passo 2

Primeiro, substituímos a função V = integral1^+infty pi cdot (1x)^2 , dx na fórmula do volume:
V = pi integral1^+infty 1x^2 , dx
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral imprópria. Sabemos que uma integral de integral 1x^2 , dx = -1x + C converge se . Aqui, , então a integral deve convergir.
A antiderivada de é:

Passo 4

Aplicamos os limites da integração de 1 até V = pi [ -1x ]1^+infty = pi ( limb to +infty (-1b) - (-11) ) :
V = pi (0 + 1) = pi
Calculando os limites:
Então:

Resposta

O volume do sólido de revolução converge e seu valor é .

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