Determine para cada função o maior subconjunto de
onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos lá! O que temos aqui é uma função de três variáveis reais:
O objetivo é descobrir em qual maior subconjunto de
essa função está definida. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e geometria espacial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a função estar definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.
Então, vamos estabelecer a condição:
Passo 3
Simplificando a desigualdade, temos:
Agora, reconhecemos que a expressão à esquerda é a equação da distância ao quadrado de um ponto
até o ponto
no espaço tridimensional.
Passo 4
A desigualdade:
representa todos os pontos cujo distância ao ponto
é maior ou igual a
.
Passo 5
Geometricamente, isso significa que estamos falando de todos os pontos que estão fora ou exatamente na superfície de uma esfera com centro em
e raio
.
Passo 6
Portanto, o maior subconjunto de
onde a função
está definida é dado por:
Passo 7
Se quisermos representar graficamente esse conjunto, imagine uma esfera no espaço tridimensional com centro em
e raio
. O conjunto
corresponde a todo o espaço fora dessa esfera, incluindo a própria superfície da esfera.
Resposta
A função
está definida para todos os pontos
em
que satisfazem:
Isso corresponde ao espaço externo a uma esfera com centro em
e raio
, incluindo a superfície da esfera.