Distribuição amostral de
: Considere uma população fictícia formada pelas medidas
. O objetivo deste exercício é verificar as fórmulas para o valor esperado e o desvio padrão da média amostral
.
a) Verifique que a média e a variância da população são respectivamente
e
.
b) No caso de amostragem com reposição de tamanho
, faça uma lista de todas as amostras possíveis. Obtenha então a distribuição de probabilidade de
.
c) Verifique que o valor esperado e a variância de
. são respectivamente
e
4. Qual é a relação destes valores com os da parte a ?
d) Repita a parte b para o caso de amostragem sem reposição e verifique os valores de
e Var
.
e) Explique porque
e dito que um estimador não-viesado para
.
a) Verifique que a média e a variância da população são respectivamente
b) No caso de amostragem com reposição de tamanho
c) Verifique que o valor esperado e a variância de
d) Repita a parte b para o caso de amostragem sem reposição e verifique os valores de
e) Explique porque
Passo 1
O enunciado trata da distribuição amostral da média
quando extraímos amostras de tamanho
de uma população finita
. Vamos verificar em (a) os parâmetros da população, em (b)–(c) a distribuição de
com reposição, em (d) sem reposição, e em (e) discutir o viés de
.
Passo 2
(a) Cálculo da média e variância populacionais. A média é
A variância é
Passo 3
(b) Amostragem com reposição de
. Cada amostra ordenada
tem probabilidade
. Os possíveis valores de
e suas contagens são:
Logo
Passo 4
(c) Cálculo de
e
com reposição. Como os valores são simétricos em torno de 5,
Ou seja,
e
.
Passo 5
(d) Amostragem sem reposição de
. Agora temos
amostras ordenadas, cada qual com probabilidade
. Os valores de
e suas contagens tornam-se:
Dessa forma
isto é,
Passo 6
(e) Um estimador
de
é não-viesado se
. Aqui
, logo
é um estimador não-viesado de
.
Resposta
(a)
e
.
(b) Com reposição, com contagens
para
.
(c) ,
, e de fato
.
(d) Sem reposição, as contagens são para
, resultando em
e
.
(e) Como ,
é não-viesado para
.
(b) Com reposição,
(c)
(d) Sem reposição, as contagens são
(e) Como