Distribuição amostral de \bar{X} : Considere uma população fictícia formada pelas medidas \{1,3,5,7,9\}. O objetivo deste exercício é verificar as fórmulas para o valor esperado e o desvio padrão da média amostral \bar{X}.
a) Verifique que a média e a variância da população são respectivamente \mu=5 e \quad \sigma^{2}=8.
b) No caso de amostragem com reposição de tamanho \mathrm{n}=2, faça uma lista de todas as amostras possíveis. Obtenha então a distribuição de probabilidade de \bar{X}.
c) Verifique que o valor esperado e a variância de \bar{X}. são respectivamente \mathrm{E}(\bar{X})=5 e \operatorname{Var}(\bar{X})= 4. Qual é a relação destes valores com os da parte a ?
d) Repita a parte b para o caso de amostragem sem reposição e verifique os valores de \mathrm{E}(\bar{X}) e Var (\bar{X}).
e) Explique porque \bar{X} e dito que um estimador não-viesado para \mu.

Passo 1

O enunciado trata da distribuição amostral da média \bar X quando extraímos amostras de tamanho n=2 de uma população finita \{1,3,5,7,9\}. Vamos verificar em (a) os parâmetros da população, em (b)–(c) a distribuição de \bar X com reposição, em (d) sem reposição, e em (e) discutir o viés de \bar X.

Passo 2

(a) Cálculo da média e variância populacionais. A média é
\mu = \frac{1+3+5+7+9}{5} = \frac{25}{5} = 5.
A variância é
\sigma^{2} = \frac{1}{5}\bigl[(1-5)^{2}+(3-5)^{2}+(5-5)^{2}+(7-5)^{2}+(9-5)^{2}\bigr] = \frac{1}{5}\bigl[16+4+0+4+16\bigr] = \frac{40}{5} = 8.

Passo 3

(b) Amostragem com reposição de n=2. Cada amostra ordenada (x_{1},x_{2}) tem probabilidade 1/25. Os possíveis valores de \bar X=(x_{1}+x_{2})/2 e suas contagens são:
\begin{array}{c|ccccccccc} \bar X&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\hline \#\text{casos}&1&2&3&4&5&4&3&2&1 \end{array}
Logo
P(\bar X = k) = \frac{\#\text{casos em que }\bar X=k}{25}, \quad k=1,2,\dots,9.

Passo 4

(c) Cálculo de \mathrm{E}(\bar X) e \operatorname{Var}(\bar X) com reposição. Como os valores são simétricos em torno de 5,
\mathrm{E}(\bar X) =5, \qquad \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{8}{2} = 4.
Ou seja, \mathrm{E}(\bar X)=\mu e \operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^{2}/n.

Passo 5

(d) Amostragem sem reposição de n=2. Agora temos 5\cdot4=20 amostras ordenadas, cada qual com probabilidade 1/20. Os valores de \bar X e suas contagens tornam-se:
\begin{array}{c|ccccccc} \bar X&2&3&4&5&6&7&8\\hline \#\text{casos}&2&2&4&4&4&2&2 \end{array}
Dessa forma
\mathrm{E}(\bar X)=5, \qquad \operatorname{Var}(\bar X)=3,
isto é,
\operatorname{Var}(\bar X) =\frac{\sigma^{2}}{n}\,\frac{N-n}{N-1} =4\cdot\frac{3}{4}=3.

Passo 6

(e) Um estimador \hat\theta de \theta é não-viesado se \mathrm{E}(\hat\theta)=\theta. Aqui \mathrm{E}(\bar X)=\mu, logo \bar X é um estimador não-viesado de \mu.

Resposta

(a) \mu=5 e \sigma^{2}=8.
(b) Com reposição, P(\bar X=k)=\#\{\bar X=k\}/25 com contagens 1,2,3,4,5,4,3,2,1 para k=1,\dots,9.
(c) \mathrm{E}(\bar X)=5, \operatorname{Var}(\bar X)=4, e de fato \operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^{2}/n.
(d) Sem reposição, as contagens são 2,2,4,4,4,2,2 para \bar X=2,\dots,8, resultando em \mathrm{E}(\bar X)=5 e \operatorname{Var}(\bar X)=3.
(e) Como \mathrm{E}(\bar X)=\mu, \bar X é não-viesado para \mu.

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