1. Calcule o intervalo de confiança para a média de uma N\left(\mu, \sigma^{2}\right) em cada um dos casos abaixo.
Média
Amostral
Tamanho da
Amostra
Desvio Padrão da
População
Coeficiente de
Confiança
170 cm 100 15 cm 95 \%
165 cm 184 30 cm 85 \%
180 cm 225 30 cm 70 \%
(nesses casos todos, a variância é conhecida)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o intervalo de confiança (IC) para a média de uma população N(\mu,\sigma^2) em três situações em que a variância é conhecida. O conteúdo envolve usar a distribuição normal padrão para obter o quantil z_{\alpha/2} e a fórmula do IC quando \sigma é conhecida:
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 2

A fórmula geral do IC para a média, com variância conhecida, é
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \bar x é a média amostral, \sigma é o desvio padrão populacional, n é o tamanho da amostra,
e z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que \Pr(Z > z_{\alpha/2}) = \alpha/2,
sendo o nível de confiança igual a 1-\alpha.

Passo 3

Caso 1 95\%:
neste caso \bar x=170, n=100, \sigma=15 e 1-\alpha=0{,}95 logo \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025.
O quantil é z_{0,025}\approx1{,}96. A margem de erro fica
E = 1{,}96\;\frac{15}{\sqrt{100}} = 1{,}96\cdot1{,}5 = 2{,}94.
Portanto
\text{IC}_{95\%} = 170 \pm 2{,}94 = (167{,}06;\,172{,}94).

Passo 4

Caso 2 85\%:
aqui \bar x=165, n=184, \sigma=30 e 1-\alpha=0{,}85 logo \alpha=0{,}15 e \alpha/2=0{,}075.
O quantil é z_{0,075}\approx1{,}44. A margem de erro é
E = 1{,}44\;\frac{30}{\sqrt{184}} = 1{,}44\;\frac{30}{13{,}564} \approx 1{,}44\cdot2{,}212 = 3{,}19.
Logo
\text{IC}_{85\%} = 165 \pm 3{,}19 = (161{,}81;\,168{,}19).

Passo 5

Caso 3 70\%:
neste caso \bar x=180, n=225, \sigma=30 e 1-\alpha=0{,}70 logo \alpha=0{,}30 e \alpha/2=0{,}15.
O quantil é z_{0,15}\approx1{,}036. A margem de erro vale
E = 1{,}036\;\frac{30}{\sqrt{225}} = 1{,}036\;\frac{30}{15} = 1{,}036\cdot2 = 2{,}07.
Portanto
\text{IC}_{70\%} = 180 \pm 2{,}07 = (177{,}93;\,182{,}07).

Resposta

Caso 1 95\%: (167{,}06;\,172{,}94) cm
Caso 2 85\%: (161{,}81;\,168{,}19) cm
Caso 3 70\%: (177{,}93;\,182{,}07) cm

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