Um tanque contém 100 litros de água e 1 kg de sal. Água contendo uma concentração de sal de 0.25(1+0.5 \sin t) gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto, e a mistura sai do tanque à mesma taxa.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque a qualquer instante (i.e., resolva a equação, usando o woolframalpha ou similar para a última integração, caso necessário).
(b) O comportamento da solução para períodos longos de tempo é uma oscilação em torno de um nível constante. Qual nível é esse? E qual a amplitude dessa oscilção?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura em tanque com volume constante de 100 L. A concentração de entrada é
c_{\text{in}}(t)=0,25\bigl(1+0,5\sin t\bigr)\quad\text{g/L},
e a vazão de entrada e saída é 5 L/min. Inicialmente há 1 kg de sal no tanque, isto é, y(0)=1000 g. Vamos montar e resolver a EDO para a massa de sal y(t).

Passo 2

A variação de massa de sal obedece
\frac{dy}{dt} =\underbrace{5\,c_{\text{in}}(t)}_{\text{entrada}} -\underbrace{5\frac{y}{100}}_{\text{saída}} =5\cdot0,25\bigl(1+0,5\sin t\bigr)-0,05\,y,í
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\frac{dy}{dt}+0,05\,y=1,25+0,625\sin t.

Passo 3

Usamos fator integrante \mu(t)=e^{0,05t}. Multiplicando a EDO por \mu e integrando,
e^{0,05t}y =\int e^{0,05t}(1,25+0,625\sin t)\,dt + C.
Separamos em duas integrais:
\int e^{0,05t}\,1,25\,dt =25\,e^{0,05t},
\int e^{0,05t}\sin t\,dt =\frac{e^{0,05t}}{0,05^2+1}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr) =\frac{e^{0,05t}}{1,0025}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr).
Multiplicando por 0,625
0,625\int e^{0,05t}\sin t\,dt =\frac{0,625\,e^{0,05t}}{1,0025}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr).

Passo 4

Voltando de \mu, obtemos
y(t) =25+\frac{0,625}{1,0025}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr)+C\,e^{-0,05t}.
Como y(0)=1000, \sin0=0, \cos0=1, tem-se
1000=25-\frac{0,625}{1,0025}+C \quad\Longrightarrow\quad C\approx975,62344.

Passo 5

A solução completa em gramas de sal é
y(t) =25 +\frac{0,625}{1,0025}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr) +975,62344\,e^{-0,05t}.

Passo 6

Para t\to\infty, o termo exponencial cai a zero, restando a solução periódica
y_\infty(t) =25+\frac{0,625}{1,0025}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr).
Esse regime é uma oscilação em torno de 25 g com amplitude
A =\sqrt{\Bigl(\tfrac{0,625}{1,0025}\cdot0,05\Bigr)^{2} +\Bigl(\tfrac{0,625}{1,0025}\Bigr)^{2}} \approx0,624\text{ g}.

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=25+\frac{0,625}{1,0025}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr)+975,62344\,e^{-0,05t}.
(b) O nível médio de oscilação é 25 g e a amplitude é aproximadamente 0,624 g.

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