Um tanque contém 100 litros de água e 1 kg de sal. Água contendo uma concentração de sal de 0.25(1+0.5 \sin t) gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto, e a mistura sai do tanque à mesma taxa.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque a qualquer instante (i.e., resolva a equação, usando o woolframalpha ou similar para a última integração, caso necessário).
(b) O comportamento da solução para períodos longos de tempo é uma oscilação em torno de um nível constante. Qual nível é esse? E qual a amplitude dessa oscilção?
Passo 1
O enunciado trata de um problema de mistura em tanque com volume constante de 100 L. A concentração de entrada é
e a vazão de entrada e saída é 5 L/min. Inicialmente há 1 kg de sal no tanque, isto é, y(0)=1000 g. Vamos montar e resolver a EDO para a massa de sal y(t).
Esse regime é uma oscilação em torno de 25 g com amplitude
A =\sqrt{\Bigl(\tfrac{0,625}{1,0025}\cdot0,05\Bigr)^{2} +\Bigl(\tfrac{0,625}{1,0025}\Bigr)^{2}} \approx0,624\text{ g}.
Resposta
(a) \displaystyle y(t)=25+\frac{0,625}{1,0025}\bigl(0,05\sin t-\cos t\bigr)+975,62344\,e^{-0,05t}.
(b) O nível médio de oscilação é 25 g e a amplitude é aproximadamente 0,624 g.