Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t.
O princípio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) caindo da altura h.
No instante t=0, um tanque contém Q_{0} \mathrm{lb} de sal disolvida em 100 gal de água. Suponha que água contendo 1 / 4 \mathrm{lb} de sal por galão está entrando no tanque a uma taxa (velocidade) de r galões por minuto, e sai na mesma taxa.
a) Modelar o problema de valor inicial que descreve o processo do fluxo da solução salina.
b) Determinar a quantidade de sal Q(t) no tanque em função do tempo.
c) Achar a quantidade limite de sal Q_{L} no tanque após um tempo suficientemente grande.
d) Se r=3 e Q_{0}=2 Q_{L}, encontre o tempo T após o qual a quantidade de sal é 2 \% de Q_{L}.
e) Encontre a taxa de fluxo r necessária para que T não exceda 45 min .
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com volume constante de 100 galões. Entra água contendo 1/4 lb de sal por galão à vazão r gal/min e sai mistura à mesma vazão. Seja Q(t) a quantidade de sal (em lb) no tanque no tempo t. O objetivo é formular o EDO de mistura, resolver para Q(t), achar o valor limite Q_L, depois, nos itens d) e e), determinar o tempo para ficar dentro de 2 % do valor de equilíbrio e a vazão mínima para que esse tempo não exceda 45 min.
Passo 2
Modelagem. A taxa de entrada de sal é
\text{entrada} = r\cdot\frac{1}{4}.
A concentração na saída é \tfrac{Q(t)}{100} (lb/gal), logo a taxa de saída de sal é
\text{saída} = r\cdot\frac{Q(t)}{100}.
Logo o balanço de massa dá o EDO de primeira ordem