Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t.
O princípio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) caindo da altura h.
No instante t=0, um tanque contém Q_{0} \mathrm{lb} de sal disolvida em 100 gal de água. Suponha que água contendo 1 / 4 \mathrm{lb} de sal por galão está entrando no tanque a uma taxa (velocidade) de r galões por minuto, e sai na mesma taxa.
a) Modelar o problema de valor inicial que descreve o processo do fluxo da solução salina.
b) Determinar a quantidade de sal Q(t) no tanque em função do tempo.
c) Achar a quantidade limite de sal Q_{L} no tanque após um tempo suficientemente grande.
d) Se r=3 e Q_{0}=2 Q_{L}, encontre o tempo T após o qual a quantidade de sal é 2 \% de Q_{L}.
e) Encontre a taxa de fluxo r necessária para que T não exceda 45 min .

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume constante de 100 galões. Entra água contendo 1/4 lb de sal por galão à vazão r gal/min e sai mistura à mesma vazão. Seja Q(t) a quantidade de sal (em lb) no tanque no tempo t. O objetivo é formular o EDO de mistura, resolver para Q(t), achar o valor limite Q_L, depois, nos itens d) e e), determinar o tempo para ficar dentro de 2 % do valor de equilíbrio e a vazão mínima para que esse tempo não exceda 45 min.

Passo 2

Modelagem. A taxa de entrada de sal é
\text{entrada} = r\cdot\frac{1}{4}.
A concentração na saída é \tfrac{Q(t)}{100} (lb/gal), logo a taxa de saída de sal é
\text{saída} = r\cdot\frac{Q(t)}{100}.í
Logo o balanço de massa dá o EDO de primeira ordem
\frac{dQ}{dt} = r\cdot\frac{1}{4} - r\cdot\frac{Q}{100}, \quad Q(0)=Q_{0}.

Passo 3

Solução do EDO linear
\frac{dQ}{dt} + \frac{r}{100}\,Q = \frac{r}{4}.
O fator integrante é \mu(t)=\exp\bigl(\tfrac r{100}t\bigr). Multiplicando e integrando, obtém-se
Q(t) = C\,e^{-\tfrac r{100}t} + Q_{L},
onde
Q_{L}=\frac{\tfrac r4}{\tfrac r{100}} = 25
é o ponto de equilíbrio, e C=Q_{0}-Q_{L}. Logo
Q(t) = \bigl(Q_{0}-25\bigr)\,e^{-\tfrac r{100}t} + 25.

Passo 4

Valor limite quando t\to\infty:
Q_{L} = 25\text{ lb}.

Passo 5

Item d): seja r=3 e Q_{0}=2Q_{L}=50. Queremos o tempo T tal que a diferença para o equilíbrio seja 2 % de Q_{L}, isto é
\bigl|Q(T)-25\bigr| = 0{,}02\cdot25 = 0{,}5.
Como Q(t)-25 = (50-25)e^{-\tfrac{3}{100}t}=25e^{-0.03t}, impomos
25\,e^{-0.03T} = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad e^{-0.03T} = 0{,}02 \quad\Longrightarrow\quad T = -\frac{1}{0{,}03}\ln(0{,}02) \approx 130{,}4\text{ min}.

Passo 6

Item e): queremos T\le45. Em geral
T = -\frac{100}{r}\ln(0{,}02) = \frac{100\ln(50)}{r}.
A condição T\le45 leva a
r \ge \frac{100\ln(50)}{45} \approx 8{,}69\text{ gal/min}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dQ}{dt} = r\cdot\frac{1}{4} - r\cdot\frac{Q}{100},\quad Q(0)=Q_{0}.
b) \displaystyle Q(t) = \bigl(Q_{0}-25\bigr)\,e^{-\tfrac r{100}t} + 25.
c) \displaystyle Q_{L}=25 lb.
d) \displaystyle T = -\frac{1}{0{,}03}\ln(0{,}02)\approx130{,}4 min.
e) \displaystyle r\ge\frac{100\ln(50)}{45}\approx8{,}69 gal/min.

Exercícios relacionados