Exercício extra (não está no livro - neste caso, é pra encontrar intervalo de confiança para a média com o desvio padrão desconhecido):
Uma máquina que fabrica chapas de aço estava programada para fazer chapas com 20 kg em média. Devido a falhas no sistema elétrico, a máquina se desregulou, e deseja-se saber o novo peso médio das chapas, antes que ocorra prejuízo. Uma amostra de 29 chapas apresentou média amostral de 18,5 \mathrm{~kg}, e desvio padrão amostral de 0,5 \mathrm{~kg}. Calcule um intervalo de confiança para a nova média populacional com coeficiente de confiança igual a 95 \%.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime, com 95 % de confiança, o novo peso médio das chapas de aço produzidas por uma máquina desregulada. Temos uma amostra de tamanho n=29, média amostral \bar x=18{,}5 kg e desvio padrão amostral s=0{,}5 kg. Como o desvio padrão populacional é desconhecido, vamos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student.

Passo 2

Quando o desvio padrão populacional \sigma é desconhecido e o tamanho da amostra não é muito grande, usa-se a estatística
T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}}
que segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade. Aqui, n-1=28.

Passo 3

Para nível de confiança de 95 %, o valor crítico é
t_{0{,}025,\,28}
que, em tabelas de Student, vale aproximadamente 2{,}048. Esse número satisfaz
P\bigl(-2{,}048 \le T \le 2{,}048\bigr)=0{,}95.

Passo 4

A margem de erro E é dada por
E = t_{0{,}025,\,28}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =2{,}048\cdot\frac{0{,}5}{\sqrt{29}}.
Como \sqrt{29}\approx5{,}385, temos
E \approx 2{,}048\cdot\frac{0{,}5}{5{,}385} \approx2{,}048\cdot0{,}0928 \approx0{,}19\\ \text{kg}.

Passo 5

O intervalo de confiança para a média populacional \mu é
\bar x \pm E =18{,}5\pm0{,}19.
Portanto, o intervalo fica de 18{,}5-0{,}19 até 18{,}5+0{,}19.

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para a média é aproximadamente
(18{,}31\\ \text{kg},\;18{,}69\\ \text{kg}).

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