Quantos estados existem em um átomo de hidrogênio com n=5 ? Como estão distribuídos entre as subcamadas?

Passo 1

O enunciado dá o número quântico principal \,n=5 e pergunta duas coisas: (1) quantos estados existem para esse nível de energia; (2) como esses estados se distribuem entre as subcamadas (ou subníveis).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \,n=5.
O que é pedido: o número total de estados com \,n=5 e a distribuição desses estados entre as subcamadas correspondentes a \ell=0,1,2,3,4.

Passo 2

Explicação dos conceitos necessários (passo-a-passo, sem pular nada):
  • Cada estado quântico (microestado) de um elétron num átomo de hidrogênio é identificado por quatro números quânticos: \,n (principal), \,\ell (azimutal), \,m_\ell (magnético) e \,m_s (spin).
  • Para um dado \,n, o número quântico \,\ell pode assumir os valores inteiros
\ell=0,1,2,\dots,n-1.
Ou seja, para \,n=5 temos \ell=0,1,2,3,4.
  • Para cada \ell fixo, o número quântico magnético \,m_\ell varia pelos valores inteiros
m_\ell=-\ell,\; -\ell+1,\; \dots,\; 0,\; \dots,\; \ell-1,\; \ell,
portanto existem (2\ell+1) valores possíveis de m_\ell. Cada valor de m_\ell corresponde a um orbital espacial distinto (uma função de onda com orientação específica).
  • Finalmente, cada orbital espacial admite duas orientações de spin \,m_s: \,m_s=+\tfrac{1}{2} ou \,m_s=-\tfrac{1}{2}. Assim, cada orbital espacial gera exatamente 2 estados (quando contamos spin).
    Resumo prático: número de orbitais espaciais para um dado \ell é (2\ell+1); número de estados (incluindo spin) para esse \ell é 2(2\ell+1).

Passo 3

Calcular quantos orbitais espaciais existem para \,n=5: somamos (2\ell+1) para \ell=0 até \ell=4. Escrevendo:
\sum_{\ell=0}^{4} (2\ell+1) = (2\cdot0+1)+(2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)+(2\cdot3+1)+(2\cdot4+1).
Calculando termo a termo:
1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Somando:
1+3=4,\quad 4+5=9,\quad 9+7=16,\quad 16+9=25.
Portanto existem 25 orbitais espaciais com \,n=5. (Nota útil: isso coincide com a fórmula geral \sum_{\ell=0}^{n-1}(2\ell+1)=n^2, então número de orbitais = n^2. Aqui n^2=5^2=25.)

Passo 4

Transformar orbitais em estados contando o spin: cada orbital espacial gera 2 estados (dois valores de \,m_s). Logo o número total de estados é
2\times (\text{nº de orbitais}) = 2 \times 25 = 50.º
Também podemos aplicar a fórmula geral direta: número de estados por nível principal n é 2n^2. Para n=5 isso dá 2\cdot 5^2=50.

Passo 5

Distribuição entre subcamadas (detalhando por \ell): para \,n=5 temos as subcamadas \ell=0,1,2,3,4, que recebem os nomes usuais s,p,d,f,g respectivamente. Agora contemos orbitais e estados em cada subcamada:
  • Para \ell=0 (subcamada 5s): (2\ell+1)=1 orbital espacial ⇒ estados com spin =2\times1=2.
  • Para \ell=1 (subcamada 5p): (2\ell+1)=3 orbitais ⇒ estados =2\times3=6.
  • Para \ell=2 (subcamada 5d): (2\ell+1)=5 orbitais ⇒ estados =2\times5=10.
  • Para \ell=3 (subcamada 5f): (2\ell+1)=7 orbitais ⇒ estados =2\times7=14.
  • Para \ell=4 (subcamada 5g): (2\ell+1)=9 orbitais ⇒ estados =2\times9=18.
Verificação rápida: somando os estados por subcamada 2+6+10+14+18=50, que confere com o total calculado antes.

Passo 6

Pequeno exemplo de checagem para fixar a ideia (rápido): se n=2 temos \ell=0,1 com orbitais 1 e 3, total de orbitais =4=n^2, estados =2\cdot4=8. Isso confirma o padrão e ajuda a memorizar: orbitais = n^2, estados = 2n^2.

Resposta

Total: 50 estados.
Distribuição por subcamada: 5s: 1 orbital \rightarrow 2 estados; 5p: 3 orbitais \rightarrow 6 estados; 5d: 5 orbitais \rightarrow 10 estados; 5f: 7 orbitais \rightarrow 14 estados; 5g: 9 orbitais \rightarrow 18 estados.

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