Suponha que se deseja testar a possibilidade de que os elétrons de átomos se movam em órbitas “olhando-os” com fótons de freqüência suficientemente curtas - por exemplo, 10,0 \mathrm{pm}. (a) Qual seria a energia de tais fótons? (b) Quanta energia um próton iria transferir para um elétron livre em uma colisão Compton frontal? (c) O que isto informa quanto à possibilidade da confirmação do movimento orbital “olhando-se” um elétron atômico em dois ou mais pontos ao longo deste percurso? Suponha que a velocidade do elétron seja de 0,10 c.
31. (a) Calcule os intervalos de comprimento de onda nos quais as séries de Lyman, de Balmer e de Paschen se estendem. (O intervalo se estende do maior comprimento de onda ao limite das séries.) (b) Determine os intervalos de freqüências correspondentes.

Passo 1

O enunciado tem duas partes distintas. Primeiro enunciado (vou chamar de Exercício A) pergunta sobre “olhar” elétrons com fótons de comprimento de onda muito curto 10{,}0\\ \mathrm{pm}. Ele pede:
(a) a energia desses fótons;
(b) quanta energia um fóton iria transferir a um elétron livre numa colisão Compton frontal;
(c) o que isso nos diz sobre a possibilidade de confirmar o movimento orbital “olhando” um elétron em dois ou mais pontos, sabendo que a velocidade do elétron é 0{,}10\,c.
Observação: o enunciado escreveu “próton” em (b), mas uma colisão Compton envolve um fóton; vou interpretar que foi um erro de digitação e que a pergunta é sobre um fóton.
O segundo enunciado (vou chamar de Exercício 31) é sobre séries espectrais do hidrogênio:
(a) calcular os intervalos de comprimento de onda nos quais se estendem as séries de Lyman, Balmer e Paschen (do maior comprimento de onda até o limite da série);
(b) determinar os intervalos de frequências correspondentes.
Informações e constantes que usarei (valores numéricos conhecidos):
c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\qquad h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
m_{e}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\qquad 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
\lambda_{\text{Compton}}=\frac{h}{m_{e}c}=2{,}426310238\times10^{-12}\\ \mathrm{m},
R_{\infty}=1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}\\ (\text{constante de Rydberg para massa infinita}).

Passo 2

(a) Como calcular a energia de um fóton: usamos a relação de Planck entre energia e comprimento de onda:
E=\frac{hc}{\lambda}.
Aqui a variável significa: E é a energia do fóton em joules, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no vácuo e \lambda é o comprimento de onda do fóton em metros. Para \lambda=10{,}0\\ \mathrm{pm}=10{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=1{,}00\times10^{-11}\\ \mathrm{m}, calculamos:
E=\frac{(6{,}62607015\times10^{-34})(2{,}99792458\times10^{8})}{1{,}00\times10^{-11}}.
Faço as contas passo a passo: o produto hc\approx1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}. Dividindo por \lambda:
E\approx\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{1{,}00\times10^{-11}}=1{,}98644586\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para elétron-volts (mais intuitivo para partículas):
E\;(\mathrm{eV})=\frac{1{,}98644586\times10^{-14}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\approx1{,}24\times10^{5}\\ \mathrm{eV}=124\\ \mathrm{keV}.

Passo 3

(b) Máxima energia transferida a um elétron numa colisão Compton frontal. Conceito e fórmula: na dispersão Compton um fóton incide sobre um elétron livre (em repouso) e é espalhado. A mudança de comprimento de onda do fóton depende do ângulo de espalhamento \theta:
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta).
Para colisão frontal (espalhamento de 180^\circ, isto é \theta=180^\circ) temos 1-\cos\theta=1-(-1)=2, portanto
\lambda'=\lambda+2\lambda_{\text{Compton}},
onde \lambda_{\text{Compton}}=h/(m_{e}c) é o comprimento de onda Compton do elétron. Essa situação (espalhamento para trás) dá a maior perda de energia do fóton, logo a maior energia transferida ao elétron.
Energia do fóton antes e depois:
E=\frac{hc}{\lambda},\qquad E'=\frac{hc}{\lambda'}=\frac{hc}{\lambda+2\lambda_{\text{Compton}}}.
A energia transferida ao elétron (máxima para colisão frontal) é
T_{\max}=E-E'=hc\!\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda+2\lambda_{\text{Compton}}}\right).
Agora calculo numericamente para \lambda=1{,}00\times10^{-11}\\ \mathrm{m} e \lambda_{\text{Compton}}=2{,}426310238\times10^{-12}\\ \mathrm{m}. Primeiro \lambda'=1{,}00\times10^{-11}+2(2{,}426310238\times10^{-12}):
\lambda'=1{,}00\times10^{-11}+4{,}852620476\times10^{-12}=1{,}4852620476\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Agora calculo E' e T_{\max}:
E'=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{1{,}4852620476\times10^{-11}}\approx1{,}3374\times10^{-14}\\ \mathrm{J},
T_{\max}=1{,}98644586\times10^{-14}-1{,}3374\times10^{-14}=0{,}6490\times10^{-14}\\ \mathrm{J}=6{,}49\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para eV:
T_{\max}\approx\frac{6{,}49\times10^{-15}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\approx4{,}05\times10^{4}\\ \mathrm{eV}=40{,}5\\ \mathrm{keV}.

Passo 4

(c) Interpretação física — por que isso impede “olhar” um elétron em dois pontos da órbita?
Primeiro, estime a energia cinética do elétron na órbita: para v=0{,}10\,c (velocidade não relativística significativa, mas 0{,}1c permite usar a aproximação não-relativística com boa precisão) a energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}m_{e}v^{2}=\tfrac{1}{2}m_{e}(0{,}1c)^{2}=\tfrac{1}{2}m_{e}c^{2}(0{,}1)^{2}.
Numérico:
K=\tfrac{1}{2}(9{,}10938356\times10^{-31})(0{,}1\times2{,}99792458\times10^{8})^{2}\approx4{,}10\times10^{-16}\\ \mathrm{J},
ou em eV:
K\approx\frac{4{,}10\times10^{-16}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\approx2{,}56\times10^{3}\\ \mathrm{eV}=2{,}56\\ \mathrm{keV}.
Comparando energias: o fóton de \lambda=10{,}0\\ \mathrm{pm} tem energia E\approx124\\ \mathrm{keV} e, num espalhamento frontal, pode entregar ao elétron até T_{\max}\approx40{,}5\\ \mathrm{keV}. Isso é muito maior que a energia cinética original do elétron ( \sim2{,}6\\ \mathrm{keV}). Logo a interação com o fóton altera dramaticamente a energia e o movimento do elétron — pode até ejetá-lo do átomo.
Interpretando em termos de princípio da incerteza: para localizar o elétron com resolução espacial da ordem de \lambda (ou menor), precisamos usar fótons de momento p=\frac{h}{\lambda} grande, e a troca de momento com o elétron produzirá uma grande incerteza de momento e, portanto, uma grande perturbação na sua trajetória. Na prática: tentar “fotografar” o elétron em dois pontos separando-os no tempo ou no espaço com tal fóton perturba fortemente sua órbita, impedindo que se observe a trajetória original.
Conclusão física direta: não é possível confirmar o movimento orbital (rastrear pontos sucessivos da órbita) sem perturbar fortemente o elétron com fótons tão energéticos — o ato de medir com fótons de \lambda=10{,}0\\ \mathrm{pm} destruiria a condição orbital. Em palavras encorajadoras: a física quântica está sendo chata com a gente — medir altera o que se quer medir!

Passo 5

Agora resolvo o Exercício 31 sobre séries espectrais do hidrogênio. A fórmula de Rydberg para o comprimento de onda das linhas do hidrogênio é
\frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right),
onde n_{1} é o nível final fixo da série (1 para Lyman, 2 para Balmer, 3 para Paschen) e n_{2}=n_{1}+1,n_{1}+2,\dots. O maior comprimento de onda da série ocorre para a transição mais “fraca” (menor energia): n_{2}=n_{1}+1. O limite da série é n_{2}\to\infty, dando \frac{1}{\lambda_{\text{lim}}}=R_{\infty}\frac{1}{n_{1}^{2}}, portanto \lambda_{\text{lim}}=\frac{n_{1}^{2}}{R_{\infty}}. Vou calcular para cada série os dois extremos: \lambda_{\max} (maior comprimento de onda, n_{2}=n_{1}+1) e \lambda_{\min}=\lambda_{\text{lim}}=\frac{n_{1}^{2}}{R_{\infty}}. Depois obtenho as frequências pela relação \nu=c/\lambda.

Passo 6

Cálculos numéricos — Lyman ( n_{1}=1):
\lambda_{\max}\\ (\text{Lyman})\\ \text{(transição }2\to1):\quad \frac{1}{\lambda_{\max}}=R_{\infty}\!\left(1-\frac{1}{4}\right)=\tfrac{3}{4}R_{\infty},çã
\lambda_{\max}=\frac{4}{3R_{\infty}}\approx\frac{4}{3(1{,}0973731568508\times10^{7})}\approx1{,}215\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=121{,}5\\ \mathrm{nm}.
Limite da série:
\lambda_{\min}=\frac{1}{R_{\infty}}\approx9{,}113\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=91{,}13\\ \mathrm{nm}.
Frequências correspondentes:
\nu_{\min}=\frac{c}{\lambda_{\max}}\approx\frac{2{,}99792458\times10^{8}}{1{,}215\times10^{-7}}\approx2{,}47\times10^{15}\\ \mathrm{Hz},
\nu_{\max}=\frac{c}{\lambda_{\min}}\approx3{,}29\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Cálculos numéricos — Balmer ( n_{1}=2):
Maior comprimento de onda (transição 3\to2):
\frac{1}{\lambda_{\max}}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=R_{\infty}\frac{5}{36},
\lambda_{\max}=\frac{36}{5R_{\infty}}\approx6{,}563\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656{,}3\\ \mathrm{nm}\\ (\text{linha }H\alpha).
Limite da série:
\lambda_{\min}=\frac{4}{R_{\infty}}\approx3{,}645\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=364{,}5\\ \mathrm{nm}.
Frequências:
\nu_{\min}=\frac{c}{\lambda_{\max}}\approx4{,}57\times10^{14}\\ \mathrm{Hz},
\nu_{\max}=\frac{c}{\lambda_{\min}}\approx8{,}23\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Cálculos numéricos — Paschen ( n_{1}=3):
Maior comprimento de onda (transição 4\to3):
\frac{1}{\lambda_{\max}}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right)=R_{\infty}\frac{7}{144},
\lambda_{\max}=\frac{144}{7R_{\infty}}\approx1{,}875\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1875\\ \mathrm{nm}.
Limite da série:
\lambda_{\min}=\frac{9}{R_{\infty}}\approx8{,}201\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=820{,}1\\ \mathrm{nm}.
Frequências:
\nu_{\min}=\frac{c}{\lambda_{\max}}\approx1{,}60\times10^{14}\\ \mathrm{Hz},
\nu_{\max}=\frac{c}{\lambda_{\min}}\approx3{,}66\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) E=\dfrac{hc}{\lambda}\approx1{,}99\times10^{-14}\\ \mathrm{J}=1{,}24\times10^{5}\\ \mathrm{eV}.
(b) Energia máxima transferida (colisão Compton frontal): T_{\max}\approx6{,}49\times10^{-15}\\ \mathrm{J}=4{,}05\times10^{4}\\ \mathrm{eV}.
(c) Conclusão: impossível “confirmar” a trajetória orbital medindo o elétron com fótons tão curtos sem perturbá-lo fortemente — a energia transferida ( \sim40{,}5\\ \mathrm{keV}) é muito maior que a energia cinética inicial do elétron ( \sim2{,}56\\ \mathrm{keV}), portanto a medição destruiria a órbita; além disso o princípio da incerteza impede localizar sem grande perturbação.
31(a) Intervalos de comprimentos de onda:
Lyman: de \lambda_{\max}=121{,}5\\ \mathrm{nm} até \lambda_{\min}=91{,}13\\ \mathrm{nm}.
Balmer: de \lambda_{\max}=656{,}3\\ \mathrm{nm} até \lambda_{\min}=364{,}5\\ \mathrm{nm}.
Paschen: de \lambda_{\max}=1875\\ \mathrm{nm} até \lambda_{\min}=820{,}1\\ \mathrm{nm}.
31(b) Intervalos de frequências correspondentes:
Lyman: \nu de 2{,}47\times10^{15}\\ \mathrm{Hz} até 3{,}29\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Balmer: \nu de 4{,}57\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} até 8{,}23\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Paschen: \nu de 1{,}60\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} até 3{,}66\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

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