Suponha que se deseja testar a possibilidade de que os elétrons de átomos se movam em órbitas “olhando-os” com fótons de freqüência suficientemente curtas - por exemplo,
. (a) Qual seria a energia de tais fótons? (b) Quanta energia um próton iria transferir para um elétron livre em uma colisão Compton frontal? (c) O que isto informa quanto à possibilidade da confirmação do movimento orbital “olhando-se” um elétron atômico em dois ou mais pontos ao longo deste percurso? Suponha que a velocidade do elétron seja de
.
31. (a) Calcule os intervalos de comprimento de onda nos quais as séries de Lyman, de Balmer e de Paschen se estendem. (O intervalo se estende do maior comprimento de onda ao limite das séries.) (b) Determine os intervalos de freqüências correspondentes.
31. (a) Calcule os intervalos de comprimento de onda nos quais as séries de Lyman, de Balmer e de Paschen se estendem. (O intervalo se estende do maior comprimento de onda ao limite das séries.) (b) Determine os intervalos de freqüências correspondentes.
Passo 1
O enunciado tem duas partes distintas. Primeiro enunciado (vou chamar de Exercício A) pergunta sobre “olhar” elétrons com fótons de comprimento de onda muito curto
. Ele pede:
(a) a energia desses fótons;
(b) quanta energia um fóton iria transferir a um elétron livre numa colisão Compton frontal;
(c) o que isso nos diz sobre a possibilidade de confirmar o movimento orbital “olhando” um elétron em dois ou mais pontos, sabendo que a velocidade do elétron é .
Observação: o enunciado escreveu “próton” em (b), mas uma colisão Compton envolve um fóton; vou interpretar que foi um erro de digitação e que a pergunta é sobre um fóton.
(a) a energia desses fótons;
(b) quanta energia um fóton iria transferir a um elétron livre numa colisão Compton frontal;
(c) o que isso nos diz sobre a possibilidade de confirmar o movimento orbital “olhando” um elétron em dois ou mais pontos, sabendo que a velocidade do elétron é
Observação: o enunciado escreveu “próton” em (b), mas uma colisão Compton envolve um fóton; vou interpretar que foi um erro de digitação e que a pergunta é sobre um fóton.
O segundo enunciado (vou chamar de Exercício 31) é sobre séries espectrais do hidrogênio:
(a) calcular os intervalos de comprimento de onda nos quais se estendem as séries de Lyman, Balmer e Paschen (do maior comprimento de onda até o limite da série);
(b) determinar os intervalos de frequências correspondentes.
(a) calcular os intervalos de comprimento de onda nos quais se estendem as séries de Lyman, Balmer e Paschen (do maior comprimento de onda até o limite da série);
(b) determinar os intervalos de frequências correspondentes.
Informações e constantes que usarei (valores numéricos conhecidos):
Passo 2
(a) Como calcular a energia de um fóton: usamos a relação de Planck entre energia e comprimento de onda:
Aqui a variável significa:
é a energia do fóton em joules,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz no vácuo e
é o comprimento de onda do fóton em metros. Para
, calculamos:
Faço as contas passo a passo: o produto
. Dividindo por
:
Convertendo para elétron-volts (mais intuitivo para partículas):
Passo 3
(b) Máxima energia transferida a um elétron numa colisão Compton frontal. Conceito e fórmula: na dispersão Compton um fóton incide sobre um elétron livre (em repouso) e é espalhado. A mudança de comprimento de onda do fóton depende do ângulo de espalhamento
:
Para colisão frontal (espalhamento de
, isto é
) temos
, portanto
onde
é o comprimento de onda Compton do elétron. Essa situação (espalhamento para trás) dá a maior perda de energia do fóton, logo a maior energia transferida ao elétron.
Energia do fóton antes e depois:
A energia transferida ao elétron (máxima para colisão frontal) é
Agora calculo numericamente para
e
. Primeiro
:
Agora calculo
e
:
Convertendo para eV:
Passo 4
(c) Interpretação física — por que isso impede “olhar” um elétron em dois pontos da órbita?
Primeiro, estime a energia cinética do elétron na órbita: para
(velocidade não relativística significativa, mas
permite usar a aproximação não-relativística com boa precisão) a energia cinética é
Numérico:
ou em eV:
Comparando energias: o fóton de
tem energia
e, num espalhamento frontal, pode entregar ao elétron até
. Isso é muito maior que a energia cinética original do elétron (
). Logo a interação com o fóton altera dramaticamente a energia e o movimento do elétron — pode até ejetá-lo do átomo.
Interpretando em termos de princípio da incerteza: para localizar o elétron com resolução espacial da ordem de
(ou menor), precisamos usar fótons de momento
grande, e a troca de momento com o elétron produzirá uma grande incerteza de momento e, portanto, uma grande perturbação na sua trajetória. Na prática: tentar “fotografar” o elétron em dois pontos separando-os no tempo ou no espaço com tal fóton perturba fortemente sua órbita, impedindo que se observe a trajetória original.
Conclusão física direta: não é possível confirmar o movimento orbital (rastrear pontos sucessivos da órbita) sem perturbar fortemente o elétron com fótons tão energéticos — o ato de medir com fótons de
destruiria a condição orbital. Em palavras encorajadoras: a física quântica está sendo chata com a gente — medir altera o que se quer medir!
Passo 5
Agora resolvo o Exercício 31 sobre séries espectrais do hidrogênio. A fórmula de Rydberg para o comprimento de onda das linhas do hidrogênio é
onde
é o nível final fixo da série (1 para Lyman, 2 para Balmer, 3 para Paschen) e
. O maior comprimento de onda da série ocorre para a transição mais “fraca” (menor energia):
. O limite da série é
, dando
, portanto
. Vou calcular para cada série os dois extremos:
(maior comprimento de onda,
) e
. Depois obtenho as frequências pela relação
.
Passo 6
Cálculos numéricos — Lyman (
):
Limite da série:
Frequências correspondentes:
Passo 7
Cálculos numéricos — Balmer (
):
Maior comprimento de onda (transição ):
Maior comprimento de onda (transição
Limite da série:
Frequências:
Passo 8
Cálculos numéricos — Paschen (
):
Maior comprimento de onda (transição ):
Maior comprimento de onda (transição
Limite da série:
Frequências:
Resposta
(a)
.
(b) Energia máxima transferida (colisão Compton frontal): .
(c) Conclusão: impossível “confirmar” a trajetória orbital medindo o elétron com fótons tão curtos sem perturbá-lo fortemente — a energia transferida ( ) é muito maior que a energia cinética inicial do elétron (
), portanto a medição destruiria a órbita; além disso o princípio da incerteza impede localizar sem grande perturbação.
(b) Energia máxima transferida (colisão Compton frontal):
(c) Conclusão: impossível “confirmar” a trajetória orbital medindo o elétron com fótons tão curtos sem perturbá-lo fortemente — a energia transferida (
31(a) Intervalos de comprimentos de onda:
Lyman: de até
.
Balmer: de até
.
Paschen: de até
.
Lyman: de
Balmer: de
Paschen: de
31(b) Intervalos de frequências correspondentes:
Lyman: de
até
.
Balmer: de
até
.
Paschen: de
até
.
Lyman:
Balmer:
Paschen: