Calcule:
\int\left(1+x^{2}\right)(2-x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (1 + x^2)\,(2 - x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômio. Para resolver, vamos primeiro usar a propriedade distributiva para expandir o integrando e depois aplicar a regra do poder para integrar termo a termo.

Passo 2

Distribuindo (1 + x^2) em 2 - x, temos
(1 + x^2)(2 - x) = 2 + 2x^2 - x - x^3.

Passo 3

Agora, integramos cada termo separadamente usando
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Portanto:
\int 2\,dx = 2x,
\int (-x)\,dx = -\frac{x^2}{2},
\int 2x^2\,dx = \frac{2x^3}{3},
\int (-x^3)\,dx = -\frac{x^4}{4}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int(1 + x^2)(2 - x)\,dx = 2x - \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + C.

Resposta

2x - \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + C

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