Calcule:
\int\left(2+y^{2}\right)^{2} d y

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int(2 + y^{2})^{2}\,dy
O conteúdo aqui é integração de polinômios, usando a propriedade de linearidade da integral e a fórmula
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, expandimos o quadrado do binômio:
(2 + y^{2})^{2} = 2^{2} + 2\cdot2\cdot y^{2} + (y^{2})^{2} = 4 + 4y^{2} + y^{4}.

Passo 3

Agora reescrevemos a integral em função dos termos expandidos e integramos termo a termo:
\int(2 + y^{2})^{2}\,dy = \int\bigl(4 + 4y^{2} + y^{4}\bigr)\,dy = \int 4\,dy + \int 4y^{2}\,dy + \int y^{4}\,dy.
Usando \int y^{n}\,dy = y^{n+1}/(n+1):
\int 4\,dy = 4y, \quad \int 4y^{2}\,dy = 4\cdot\frac{y^{3}}{3} = \frac{4}{3}y^{3}, \quad \int y^{4}\,dy = \frac{y^{5}}{5}.

Passo 4

Somando os resultados e acrescentando a constante C, obtemos
\int(2 + y^{2})^{2}\,dy = 4y + \frac{4}{3}y^{3} + \frac{y^{5}}{5} + C.

Resposta

4y + \frac{4}{3}y^{3} + \frac{y^{5}}{5} + C.

Exercícios relacionados