Calcule:
\int\left[\frac{1}{2 t}-\sqrt{2} e^{t}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
\frac{1}{2t}-\sqrt{2}\,e^{t}
em relação a t. O conteúdo envolvido é o uso da linearidade da integral e das integrais básicas
\int \frac{1}{t}\,dt e \int e^{t}\,dt.

Passo 2

Pela propriedade da linearidade da integral, podemos separar:
\int\Bigl[\frac{1}{2t}-\sqrt{2}\,e^{t}\Bigr]dt = \frac{1}{2}\int\frac{1}{t}\,dt - \sqrt{2}\int e^{t}\,dt.

Passo 3

Usamos as integrais fundamentais:
\displaystyle \int\frac{1}{t}\,dt = \ln\lvert t\rvert e
\displaystyle \int e^{t}\,dt = e^{t}.

Passo 4

Substituindo esses resultados, obtemos
\frac{1}{2}\ln\lvert t\rvert - \sqrt{2}\,e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\lvert t\rvert - \sqrt{2}\,e^{t} + C

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