Calcule:
\int\left[3 \operatorname{sen} x-2 \operatorname{sec} ^{2} x\right] d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função 3\sin x - 2\operatorname{sec}^2 x. O conteúdo envolve regras básicas de integração de funções trigonométricas, especialmente que
\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x e \frac{d}{dx}(\tan x) = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Para integrar 3\sin x, usamos que
\int \sin x\,dx = -\cos x.
Portanto,
\int 3\sin x\,dx = 3\int \sin x\,dx = 3(-\cos x) = -3\cos x.

Passo 3

Para integrar -2\operatorname{sec}^2 x, usamos que
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x.
Logo,
\int -2\operatorname{sec}^2 x\,dx = -2\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = -2\tan x.

Passo 4

Somando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl[3\sin x - 2\operatorname{sec}^2 x\bigr]dx = -3\cos x - 2\tan x + C.

Resposta

-3\cos x - 2\tan x + C

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