Calcule \int\left(\frac{1}{x}+4 \operatorname{sen}(3 x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int\bigl(\tfrac{1}{x} + 4\operatorname{sen}(3x)\bigr)\,dx.
Esse tipo de integral é uma soma, então vamos usar duas antiderivadas básicas:
\displaystyle \int\!\tfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| e
\displaystyle \int\!\operatorname{sen}(ax)\,dx = -\tfrac{1}{a}\cos(ax).

Passo 2

Para a parte \displaystyle \int\!\tfrac{1}{x}\,dx, aplicamos diretamente a fórmula e obtemos
\displaystyle \ln|x|.

Passo 3

Para \displaystyle \int 4\operatorname{sen}(3x)\,dx, colocamos o 4 em evidência e usamos
\displaystyle \int\!\operatorname{sen}(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos(3x).
Logo,
\int 4\operatorname{sen}(3x)\,dx = 4 \times \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr) = -\tfrac{4}{3}\cos(3x).

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, temos
\int\Bigl(\tfrac{1}{x} + 4\operatorname{sen}(3x)\Bigr)\,dx = \ln|x| \;-\;\tfrac{4}{3}\cos(3x)\;+\;C.

Resposta

\ln|x| - \tfrac{4}{3}\cos(3x) + C

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