Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
Passo 1
O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
O conteúdo é equações diferenciais e vamos precisar de três etapas principais:
- Eliminar
e achar da família dada. - Trocar
por para impor ortogonalidade. - Resolver a nova EDO por separação de variáveis.
Passo 2
Começamos escrevendo
Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Passo 3
Para as trajetórias ortogonais substituímos
Logo a EDO das ortogonais é
Passo 4
Resolvendo por separação de variáveis:
Multiplicando por 6 para simplificar,
onde
é constante arbitrária.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas implicitamente por