Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{1}{\ln \left(c_{1} x\right)}

Passo 1

O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
y = \frac{1}{\ln\bigl(c_{1}x\bigr)}.
O conteúdo é equações diferenciais e vamos precisar de três etapas principais:
  1. Eliminar c_{1} e achar y' da família dada.
  2. Trocar y' por -1/y' para impor ortogonalidade.
  3. Resolver a nova EDO por separação de variáveis.

Passo 2

Começamos escrevendo
\frac{1}{y} = \ln\bigl(c_{1}x\bigr).
Diferenciando ambos os lados em relação a x,
-\frac{y'}{y^2} = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{y^2}{x}.

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais substituímos
y'_{\rm ort} = -\frac{1}{y'} = -\frac{1}{-\tfrac{y^2}{x}} = \frac{x}{y^2}.
Logo a EDO das ortogonais é
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y^2}.

Passo 4

Resolvendo por separação de variáveis:
y^2\,dy = x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int y^2\,dy = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} + C.
Multiplicando por 6 para simplificar,
2y^3 = 3x^2 + C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas implicitamente por
2y^3 - 3x^2 = C'.

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