Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
y=\frac{1}{\ln \left(c_{1} x\right)}

Passo 1

O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de curvas
y = \frac{1}{\ln\bigl(c_{1}x\bigr)}.
O conteúdo aqui é “ortogonalidade de famílias de curvas”: calculamos a derivada y' da família original, obtemos a inclinação das ortogonais como o negativo do recíproco de y' e depois resolvemos a equação diferencial resultante.

Passo 2

Calculamos y' para a família dada. Como
y = \frac{1}{\ln(c_{1}x)},
temos
y' = -\frac{1}{\bigl[\ln(c_{1}x)\bigr]^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(c_{1}x)\bigr] = -\frac{1}{\ln^{2}(c_{1}x)}\cdot\frac1x.
Mas \ln(c_{1}x)=1/y, logo
y' = -\frac{1/x}{(1/y)^{2}} = -\frac{y^{2}}{x}.

Passo 3

A inclinação de uma ortogonal é o negativo do recíproco de y'. Assim, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y'} = -\frac{1}{-\tfrac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{y^{2}}.

Passo 4

Resolvemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\,dy = x\,dx.
Integrando ambos os lados:
\int y^{2}\,dy = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + C.
Multiplicando por 6 para simplificar, fica
2y^{3} = 3x^{2} + C',
ou, equivalentemente,
y^{3} = \frac{3}{2}\,x^{2} + K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas pela família
y^{3} = \frac{3}{2}\,x^{2} + K,
com K constante de integração.

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