Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
Passo 1
O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de curvas
O conteúdo aqui é “ortogonalidade de famílias de curvas”: calculamos a derivada
da família original, obtemos a inclinação das ortogonais como o negativo do recíproco de
e depois resolvemos a equação diferencial resultante.
Passo 2
Calculamos
para a família dada. Como
temos
Mas
, logo
Passo 3
A inclinação de uma ortogonal é o negativo do recíproco de
. Assim, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
Passo 4
Resolvemos
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por 6 para simplificar, fica
ou, equivalentemente,
onde
é constante arbitrária.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas pela família
com
constante de integração.