Calcule
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{-n}.
O conteúdo principal aqui é o limite fundamental
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{x}{n}\bigr)^{n}=e^{x}
e o uso de propriedades de expoentes.

Passo 2

Note que
1-\frac{1}{n} =1+\frac{-1}{n},
ou seja, é da forma \bigl(1+\tfrac{x}{n}\bigr) com x=-1. Assim, vale o limite
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{-1}{n}\Bigr)^{n} =e^{-1}.

Passo 3

Como
\Bigl(1-\tfrac{1}{n}\Bigr)^{-n} =\Bigl[\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}\Bigr]^{-1},
temos
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{-n} =\frac{1}{e^{-1}} =e.

Resposta

e

Exercícios relacionados