Calcule
\int\left(6 \operatorname{sec} x \operatorname{tg} x+\frac{3}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(6\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{3}{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é o seguinte:
  1. Linearidade da integral, que permite separar a soma em duas integrais.
  2. A primitiva de \operatorname{sec} x\tan x, que é \operatorname{sec} x (pois \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x).
  3. A primitiva de 1/x, que é \ln\lvert x\rvert.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral para separar em duas parcelas:
\int\bigl(6\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{3}{x}\bigr)\,dx = \int 6\operatorname{sec} x\tan x\,dx \;+\; \int \tfrac{3}{x}\,dx.

Passo 3

Fatoramos as constantes fora das integrais:
6\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx \;+\; 3\int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Usamos que
\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x + C_1
portanto
6\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = 6\operatorname{sec} x + C_2.

Passo 5

Usamos que
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C_3
portanto
3\int \frac{1}{x}\,dx = 3\ln\lvert x\rvert + C_4.

Passo 6

Somando as duas partes e absorvendo as constantes em uma única constante C, obtemos
6\operatorname{sec} x + 3\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

6\operatorname{sec} x + 3\ln\lvert x\rvert + C.

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