Calcule
\int\left(x^{3}-2 x^{2}+x-5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(x^{3}-2x^{2}+x-5\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômios usando a regra de potência, e vamos precisar também da propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral para separar os termos:
\int\bigl(x^{3}-2x^{2}+x-5\bigr)\,dx = \int x^{3}\,dx -2\int x^{2}\,dx +\int x\,dx -5\int 1\,dx.

Passo 3

Usamos a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C em cada integral:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \quad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad \int 1\,dx = x.

Passo 4

Substituindo os resultados no passo anterior, obtemos
\int\bigl(x^{3}-2x^{2}+x-5\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} -2\cdot\frac{x^{3}}{3} +\frac{x^{2}}{2} -5x + C.
Podemos simplificar 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2x^{3}}{3}, então
\int\bigl(x^{3}-2x^{2}+x-5\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5x + C.

Resposta

\frac{x^{4}}{4} - \frac{2x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5x + C

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