Calcule (usando o método de integração por partes)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
- O integrando é
. - Não há limites de integração nem imagens adicionais.
Passo 2
Vou usar o método de integração por partes. Lembrete da fórmula e o que cada símbolo significa:
onde
e
são partes escolhidas do integrando;
é a derivada de
em relação a
e
é uma primitiva de
.
Escolha estratégica (explico o porquê): escrevo o integrando como
e escolho
Motivo:
fica simples, e a primitiva de
pode ser obtida com uma substituição simples (reduz o expoente na raiz). Isso costuma simplificar integrais com fatores
multiplicando funções de
.
Passo 3
Calcular
por substituição. Faço a substituição
Então
Integrando
:
Voltando a
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes com
,
e
calculado:
Simplificando sinais:
Defino
então a integral original
é
Agora calculamos
.
Passo 5
Calcular
por substituição trigonométrica. Faço
Então
e
Substituindo em
:
Passo 6
Integrar
. Uso a identidade de redução via fórmulas de ângulo duplo:
E novamente
. Substituindo:
Logo
Integro termo a termo:
Multiplicando por
(lembrando
):
Expandindo:
Passo 7
Voltar para a variável
. Lembrando
, temos
. Calculo
e
em função de
:
-
-
Para
uso . Primeiro Então
Substituindo em
:
Simplificando os coeficientes:
portanto
Agrupando os termos que contêm
:
Assim
Passo 8
Retorno para
. Lembre que
Substituindo
:
Simplifico termo a termo:
. Note que
. Escrevo os termos com fator comum
e junto-os:
O termo com
é
O outro termo com raiz é
Somando coeficientes (denominador comum
):
Portanto a parte algébrica com raiz fica
A parte trigonométrica ficou
. Assim, reunindo tudo: