Calcule (usando o método de integração por partes)
\int x^{2} \sqrt{16-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2}\sqrt{16-x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
  • O integrando é x^{2}\sqrt{16-x^{2}}.
  • Não há limites de integração nem imagens adicionais.

Passo 2

Vou usar o método de integração por partes. Lembrete da fórmula e o que cada símbolo significa:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas do integrando; du é a derivada de u em relação a x e v é uma primitiva de dv.
Escolha estratégica (explico o porquê): escrevo o integrando como x\cdot\big(x\sqrt{16-x^{2}}\big) e escolho
u = x,\qquad dv = x\sqrt{16-x^{2}}\,dx.
Motivo: du=dx fica simples, e a primitiva de dv pode ser obtida com uma substituição simples (reduz o expoente na raiz). Isso costuma simplificar integrais com fatores x multiplicando funções de x^{2}.

Passo 3

Calcular v=\displaystyle\int x\sqrt{16-x^{2}}\,dx por substituição. Faço a substituição
w = 16-x^{2}\quad\Rightarrow\quad dw = -2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,dw.
Então
\int x\sqrt{16-x^{2}}\,dx = \int \sqrt{w}\,\left(-\tfrac{1}{2}\,dw\right) = -\tfrac{1}{2}\int w^{1/2}\,dw.
Integrando w^{1/2}:
-\tfrac{1}{2}\int w^{1/2}\,dw = -\tfrac{1}{2}\cdot \frac{w^{3/2}}{3/2} = -\tfrac{1}{3}w^{3/2}.
Voltando a x:
v = -\tfrac{1}{3}\big(16-x^{2}\big)^{3/2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes com u=x, du=dx e v calculado:
\int x^{2}\sqrt{16-x^{2}}\,dx = u v - \int v\,du = x\left(-\tfrac{1}{3}(16-x^{2})^{3/2}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{3}(16-x^{2})^{3/2}\right)\,dx.
Simplificando sinais:
\int x^{2}\sqrt{16-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{3}x(16-x^{2})^{3/2} + \tfrac{1}{3}\int (16-x^{2})^{3/2}\,dx.
Defino
J=\int (16-x^{2})^{3/2}\,dx,
então a integral original I é
I = -\tfrac{1}{3}x(16-x^{2})^{3/2} + \tfrac{1}{3}J.
Agora calculamos J.

Passo 5

Calcular J=\displaystyle\int (16-x^{2})^{3/2}\,dx por substituição trigonométrica. Faço
x = 4\sin\theta \quad\Rightarrow\quad dx = 4\cos\theta\,d\theta.
Então
16-x^{2} = 16-16\sin^{2}\theta = 16\cos^{2}\theta,
e
(16-x^{2})^{3/2} = (16)^{3/2}\cos^{3}\theta = 64\cos^{3}\theta.
Substituindo em J:
J = \int 64\cos^{3}\theta \cdot 4\cos\theta\,d\theta = 256\int \cos^{4}\theta\,d\theta.

Passo 6

Integrar \cos^{4}\theta. Uso a identidade de redução via fórmulas de ângulo duplo:
\cos^{4}\theta = \left(\cos^{2}\theta\right)^{2} = \left(\tfrac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4}\big(1+2\cos 2\theta + \cos^{2}2\theta\big).
E novamente \cos^{2}2\theta = \tfrac{1+\cos 4\theta}{2}. Substituindo:
\cos^{4}\theta = \tfrac{1}{4}\Big(1+2\cos 2\theta + \tfrac{1+\cos 4\theta}{2}\Big) = \tfrac{1}{8}\big(3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta\big).
Logo
\int \cos^{4}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{8}\int \big(3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta\big)\,d\theta.
Integro termo a termo:
\int \cos^{4}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{8}\Big(3\theta + 4\cdot \tfrac{\sin 2\theta}{2} + \tfrac{\sin 4\theta}{4}\Big) + C = \tfrac{1}{8}\Big(3\theta + 2\sin 2\theta + \tfrac{1}{4}\sin 4\theta\Big)+C.
Multiplicando por 256 (lembrando J=256\int\cos^{4}\theta\,d\theta):
J = 256\cdot \tfrac{1}{8}\Big(3\theta + 2\sin 2\theta + \tfrac{1}{4}\sin 4\theta\Big) + C = 32\Big(3\theta + 2\sin 2\theta + \tfrac{1}{4}\sin 4\theta\Big)+C.
Expandindo:
J = 96\theta + 64\sin 2\theta + 8\sin 4\theta + C.

Passo 7

Voltar para a variável x. Lembrando x=4\sin\theta, temos \theta = \arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big). Calculo \sin 2\theta e \sin 4\theta em função de x:
  • \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot \dfrac{x}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} = \dfrac{x\sqrt{16-x^{2}}}{8}.
  • Para \sin 4\theta uso \sin 4\theta = 2\sin 2\theta\cos 2\theta. Primeiro \cos 2\theta = 1-2\sin^{2}\theta = 1-2\big(\tfrac{x}{4}\big)^{2} = \tfrac{8-x^{2}}{8}. Então
\sin 4\theta = 2\cdot \frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{8}\cdot \frac{8-x^{2}}{8} = \frac{x\sqrt{16-x^{2}}\,(8-x^{2})}{32}.
Substituindo em J:
J = 96\arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big) + 64\cdot\frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{8} + 8\cdot\frac{x\sqrt{16-x^{2}}\,(8-x^{2})}{32} + C.
Simplificando os coeficientes:
64\cdot\frac{1}{8}=8,\qquad 8\cdot\frac{1}{32}=\frac{1}{4},
portanto
J = 96\arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big) + 8x\sqrt{16-x^{2}} + \tfrac{x(8-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C.
Agrupando os termos que contêm x\sqrt{16-x^{2}}:
8x\sqrt{16-x^{2}} + \tfrac{x(8-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}}{4} = x\sqrt{16-x^{2}}\Big(8 + \tfrac{8-x^{2}}{4}\Big) = x\sqrt{16-x^{2}}\cdot \tfrac{40-x^{2}}{4}.
Assim
J = 96\arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big) + \tfrac{x(40-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C.

Passo 8

Retorno para I. Lembre que
I = -\tfrac{1}{3}x(16-x^{2})^{3/2} + \tfrac{1}{3}J.
Substituindo J:
I = -\tfrac{1}{3}x(16-x^{2})^{3/2} + \tfrac{1}{3}\Big(96\arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big) + \tfrac{x(40-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}}{4}\Big) + C.
Simplifico termo a termo: \tfrac{1}{3}\cdot 96 = 32. Note que (16-x^{2})^{3/2}=(16-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}. Escrevo os termos com fator comum x\sqrt{16-x^{2}} e junto-os:
O termo com (16-x^{2})^{3/2} é
-\tfrac{1}{3}x(16-x^{2})^{3/2} = -\tfrac{1}{3}x(16-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}.
O outro termo com raiz é
\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{x(40-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}}{4} = \tfrac{x(40-x^{2})\sqrt{16-x^{2}}}{12}.
Somando coeficientes (denominador comum 12):
-\tfrac{4(16-x^{2})}{12} + \tfrac{40-x^{2}}{12} = \tfrac{-64+4x^{2}+40-x^{2}}{12} = \tfrac{3x^{2}-24}{12} = \tfrac{x^{2}-8}{4}.
Portanto a parte algébrica com raiz fica
\frac{x(x^{2}-8)\sqrt{16-x^{2}}}{4}.
A parte trigonométrica ficou 32\arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big). Assim, reunindo tudo:
\boxed{\displaystyle \int x^{2}\sqrt{16-x^{2}}\,dx = 32\arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big) + \frac{x(x^{2}-8)\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C.}

Resposta

\;32\arcsin\!\big(\tfrac{x}{4}\big) + \dfrac{x(x^{2}-8)\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C

Exercícios relacionados