Calcule.
\int\left(x+3 e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada indefinida
\int\bigl(x+3e^{x}\bigr)\,dx
O conteúdo usado será a propriedade linear da integral e as primitivas de funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral, que permite separar a soma:
\int\bigl(x+3e^{x}\bigr)\,dx = \int x\,dx \;+\; 3\int e^{x}\,dx.

Passo 3

Para \int x\,dx, usamos a regra de potência
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
com n=1, o que dá
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Para \int e^{x}\,dx, sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x},
logo
\int e^{x}\,dx = e^{x},
e portanto
3\int e^{x}\,dx = 3e^{x}.

Passo 5

Somando as duas primitivas e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + 3e^{x} + C

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