Determine a região em que cada função é contínua:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+xy+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede em que região do plano ela é contínua. Vamos usar que quociente de polinômios é contínuo quando o denominador não se anula, e que no ponto (0,0) precisamos checar o limite diretamente.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) o denominador
x^{2}+xy+y^{2}
é sempre positivo, pois trata-se de uma forma quadrática com discriminante \Delta=1-4<0. Logo x^{2}+xy+y^{2}\neq0 e f(x,y) é quociente de polinômios sem anular o denominador, sendo portanto contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) temos f(0,0)=0. Para testar continuidade, avaliamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{2}+xy+y^{2}}.
Tomando a abordagem y=mx, obtemos
\frac{x\,(m x)}{x^{2}+x\,(m x)+(m x)^{2}} =\frac{m\,x^{2}}{x^{2}(1+m+m^{2})} =\frac{m}{1+m+m^{2}}.
Esse valor depende de m, logo o limite não é único e não coincide com 0. Portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:(x,y)\neq(0,0)\} e descontínua em (0,0).

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