Determine a região em que cada função é contínua:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & ,(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede a região onde f é contínua. Vamos usar que razões de polinômios são contínuas sempre que o denominador não é zero, e verificar o caso especial (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos
2x^{2}+y^{2}>0,
logo o denominador não se anula. Como x^{2}y^{3} e 2x^{2}+y^{2} são polinômios, a razão
\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}
é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero. Portanto f é contínua em \{(x,y)\mid (x,y)\neq(0,0)\}.

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Calculamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}.
Para isso, note que
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{x^{2}\,\bigl|y\bigr|^{3}}{2x^{2}+y^{2}} \le\frac{x^{2}\,\bigl|y\bigr|^{3}}{y^{2}} =x^{2}\,\bigl|y\bigr|.
Como (x,y)\to(0,0) implica x^{2}|y|\to0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

O valor da função em (0,0) é f(0,0)=1, mas o limite é 0. Como o limite não coincide com o valor apontado, f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid(x,y)\neq(0,0)\},
e é descontínua em (0,0).

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