Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
\int \operatorname{sen}^{2}(5 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(5\theta)\,d\theta.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas ao quadrado, e vamos precisar usar a identidade do ângulo duplo:
\operatorname{sen}^{2}u = \frac{1 - \cos(2u)}{2}.

Passo 2

Aplicando a identidade com u = 5\theta, temos
\operatorname{sen}^{2}(5\theta) = \frac{1 - \cos\bigl(2\cdot 5\theta\bigr)}{2} = \frac{1 - \cos(10\theta)}{2}.
Logo,
\int \operatorname{sen}^{2}(5\theta)\,d\theta = \int \frac{1 - \cos(10\theta)}{2}\,d\theta = \frac12 \int \bigl[1 - \cos(10\theta)\bigr]\,d\theta.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\frac12 \int 1\,d\theta = \frac{\theta}{2},
\frac12 \int -\cos(10\theta)\,d\theta = -\frac12 \cdot \frac{\sin(10\theta)}{10} = -\frac{\sin(10\theta)}{20}.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \operatorname{sen}^{2}(5\theta)\,d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(10\theta)}{20} + C.

Resposta

\frac{\theta}{2} \;-\;\frac{\sin(10\theta)}{20} \;+\; C

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