Calcule:
\int\left[\operatorname{cossec}^{2} t-\operatorname{sec} t \operatorname{tg} t\right] d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\bigl[\csc^{2}t \;-\;\operatorname{sec} t\,\tan t\bigr]\,dt.
O conteúdo envolvido é o cálculo de antiderivadas de funções trigonométricas, usando que a integração é a operação inversa da diferenciação.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes conhecidas:
\int\csc^{2}t\,dt \;-\;\int\operatorname{sec} t\,\tan t\,dt.
Sabemos pelas regras de derivação que
  1. \displaystyle\frac{d}{dt}\bigl(\cot t\bigr) = -\csc^{2}t, logo \int\csc^{2}t\,dt = -\cot t + C_{1}.
  2. \displaystyle\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sec} t\bigr) = \operatorname{sec} t\,\tan t, logo \int\operatorname{sec} t\,\tan t\,dt = \operatorname{sec} t + C_{2}.

Passo 3

Aplicando essas antiderivadas na expressão original, obtemos
\int\csc^{2}t\,dt \;-\;\int\operatorname{sec} t\,\tan t\,dt = \bigl(-\cot t\bigr) \;-\;\bigl(\operatorname{sec} t\bigr) + C = -\cot t \;-\;\operatorname{sec} t + C.

Resposta

-\cot t \;-\;\operatorname{sec} t + C

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