Use substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais indefinidas.
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}+25}}\'

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+25}}
Usaremos substituição trigonométrica com a identidade 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, escolhendo
x = 5\tan\theta.

Passo 2

Com x=5\tan\theta temos
dx = 5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta
e
\sqrt{x^{2}+25} = \sqrt{25\tan^{2}\theta+25} = 5\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+25}} = \int \frac{5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(25\tan^{2}\theta)\,(5\operatorname{sec}\theta)} = \frac{1}{25}\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Como \operatorname{sec}\theta/\tan^{2}\theta=\cos\theta/\sin^{2}\theta=\cot\theta\,\csc\theta, obtemos
\frac{1}{25}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabendo que
\frac{d}{d\theta}(\csc\theta)=-\csc\theta\,\cot\theta,
segue
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\csc\theta + C,
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\frac{1}{25}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\frac{1}{25}\csc\theta + C.

Passo 5

Volta à variável x usando
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+25}},
então
-\frac{1}{25}\csc\theta = -\frac{1}{25}\,\frac{\sqrt{x^{2}+25}}{x}.

Resposta

-\frac{\sqrt{x^{2}+25}}{25\,x} + C

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