Determine se V1=(1,7,3), V2=(2,1,4), V3=(6,5,1) forman uma base do IR^3.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
V1 = (1,7,3), V2 = (2,1,4), V3 = (6,5,1),
e pede para verificar se eles formam uma base de R^3.
Conteúdo: base em R^3 \leftrightarrow três vetores linearmente independentes. Para testar independência, podemos calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como linhas (ou colunas).

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são V1,V2,V3:
A = 1 & 7 & 3 2 & 1 & 4 6 & 5 & 1
O critério é: se det(A)neq0, então os vetores são linearmente independentes e, sendo três em R^3, formam base.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por regra de Sarrus ou expansão por co-fatores. Aqui usamos expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet1 & 45 & 1 -7cdotdet2 & 46 & 1 +3cdotdet2 & 16 & 5

Passo 4

Calculando cada menor:
det1 & 45 & 1 =1cdot1 - 4cdot5 = 1 - 20 = -19,
det2 & 46 & 1 =2cdot1 - 4cdot6 = 2 - 24 = -22,
det2 & 16 & 5 =2cdot5 - 1cdot6 = 10 - 6 = 4

Passo 5

Substituindo:
det(A) =1cdot(-19) -7cdot(-22) +3cdot4 = -19 +154 +12 =147
Como det(A)=147neq0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, V1,V2,V3 formam uma base de R^3, pois são linearmente independentes ( detneq0).

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