Calcule a inversa de B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8\end{array}\right) usando Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz inversa de
B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \\[4pt] 4 & 1 & 8\end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan. As informações que temos são exatamente os elementos de B acima e a instrução de usar Gauss–Jordan. O objetivo final é encontrar B^{-1}, se ela existir.]

Passo 2

Breve explicação do método (sem resolver ainda). A ideia do método de Gauss–Jordan para encontrar B^{-1} é:
  • Formar a matriz aumentada [B \mid I], isto é, colocar ao lado de B a matriz identidade I de mesma ordem.
  • Aplicar operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) para transformar o bloco esquerdo (originalmente B) na matriz identidade.
  • Se for possível reduzir o bloco esquerdo a I, então o bloco direito, após as mesmas operações, será B^{-1}.
    Operações elementares não mudam a solução de sistemas lineares e preservam a equivalência das matrizes; por isso esse procedimento devolve a inversa quando existe. No trabalho à mão, prefira escolhas que evitem frações intermediárias quando possível.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [B\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Cada linha será indicada por R_1,R_2,R_3. O primeiro pivô natural é o elemento \,1 em posição (1,1), já igual a 1, o que facilita eliminar abaixo.]

Passo 4

Zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (coluna 1) usando R_1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1.
Calculemos:
Para R_2:
R_2 - 2R_1 = (2,-1,3\mid 0,1,0) - 2(1,0,2\mid 1,0,0)
= (0,-1,-1\mid -2,1,0).
Para R_3:
R_3 - 4R_1 = (4,1,8\mid 0,0,1) - 4(1,0,2\mid 1,0,0)
= (0,1,0\mid -4,0,1).
A matriz aumentada passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Agora queremos um pivô 1 na posição (2,2). Atualmente esse elemento é -1. Multiplicamos a linha 2 por -1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2 = (0,1,1\mid 2,-1,0).
Aumentada fica
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Zerar os outros elementos na coluna 2 (acima e abaixo do pivô). Em R_1 o elemento é 0 — já ok. Em R_3 temos 1, então fazemos:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Cálculo:
(0,1,0\mid -4,0,1) - (0,1,1\mid 2,-1,0) = (0,0,-1\mid -6,1,1).
Aumentada fica
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -6 & 1 & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Pivô na posição (3,3) é -1. Tornamos esse pivô igual a 1 multiplicando R_3 por -1:
R_3 \leftarrow -1\cdot R_3 = (0,0,1\mid 6,-1,-1).
Aumentada agora:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right).]

Passo 8

Eliminar os elementos acima do pivô da terceira coluna (coluna 3):
  • Em R_1 o elemento é 2: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
  • Em R_2 o elemento é 1: R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Calculemos:
Para R_1:
(1,0,2\mid 1,0,0) - 2(0,0,1\mid 6,-1,-1) = (1,0,0\mid 1-12,\\\ 0-(-2),\\\ 0-(-2))
= (1,0,0\mid -11,2,2).
Para R_2:
(0,1,1\mid 2,-1,0) - (0,0,1\mid 6,-1,-1) = (0,1,0\mid 2-6,\\\ -1-(-1),\\\ 0-(-1))
= (0,1,0\mid -4,0,1).
Aumentada final:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -11 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right).]

Passo 9

O bloco esquerdo é agora a matriz identidade I_3. Pelo método de Gauss–Jordan, o bloco direito é a inversa B^{-1}. Portanto
B^{-1}=\begin{pmatrix} -11 & 2 & 2\\[4pt] -4 & 0 & 1\\[4pt] 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Como verificação rápida (opcional mas útil na prova): multiplicar B por B^{-1} deve dar I. Um cálculo rápido verifica que B\cdot B^{-1}=I_3, confirmando que a matriz acima é de fato a inversa.]

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix} -11 & 2 & 2\\[4pt] -4 & 0 & 1\\[4pt] 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}]

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