Seja A uma matriz 3 \times 3. Suponha que X=[1,-2,3]^{T} é solução do sistema homogêneo A X=\mathbf{0}. A matriz A é inversível? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • X=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix} é solução do sistema homogêneo A X=\mathbf{0}.
A pergunta é: a matriz A é inversível? Justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa “inversível”.
Uma matriz quadrada A é inversível se existe outra matriz A^{-1} tal que
A^{-1}A=AA^{-1}=I,
onde I é a matriz identidade. Uma forma prática de pensar: A é inversível se, para todo vetor \mathbf{b}, o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem exatamente uma solução. Em particular, para o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} isso implica que a única solução deve ser o vetor nulo \mathbf{0}.

Passo 3

Agora vejamos o que o enunciado nos fornece sobre a solução do homogêneo. O vetor dado é
X=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}.
Esse vetor não é o vetor nulo (pelo menos uma coordenada é diferente de zero), logo X\neq\mathbf{0}. Como A X=\mathbf{0}, temos uma solução não-trivial do sistema homogêneo.

Passo 4

Argumento direto por contradição (método simples e usado na prova):
  • Suponha, por absurdo, que A seja inversível. Então existe A^{-1} e podemos multiplicar a igualdade A X=\mathbf{0} à esquerda por A^{-1}:
A^{-1}(A X)=A^{-1}\mathbf{0}.
  • Usando associatividade e A^{-1}A=I obtemos
X = \mathbf{0}.
  • Isso contradiz o fato de que X é não-trivial (existe pelo menos uma coordenada diferente de zero). Logo a hipótese de que A é inversível é falsa.
Portanto A não é inversível.

Passo 5

Interpretação alternativa (com conceitos úteis para a prova):
A existência de uma solução não-trivial de A\mathbf{x}=\mathbf{0} significa que o núcleo (nullspace) de A tem dimensão \ge1. Para uma matriz 3\times3 isso impede que a posto de A seja 3; ou seja, \operatorname{rank}(A)\le2. Matriz quadrada é inversível se e somente se tiver posto máximo (aqui 3), ou equivalentemente se e somente se \det(A)\neq0. Então temos também que \det(A)=0 e A é singular (não inversível).

Passo 6

Resumo amigável: como foi dado um vetor não-nulo X com A X=\mathbf{0}, o núcleo de A não é trivial; portanto A não é inversível. Fica a dica: sempre que houver solução não-trivial do homogêneo, a matriz é singular — memorização útil para prova.

Resposta

Não, A não é inversível (é singular).

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