Encontre, se possível, as inversas das seguintes matrizes:
B=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Foi dada a matriz B:
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
  • O pedido é: encontrar, se possível, a inversa de B.
Passos seguintes vão checar se a inversa existe e, se existir, calcular passo a passo o que ela vale.]

Passo 2

Critério de existência da inversa e método escolhido.
  • Uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Ou seja, é preciso calcular \det(B).
  • Para uma matriz 3\times3 existe uma fórmula direta para o determinante (regra de Sarrus ou expansão por co-fatores). Vou usar a fórmula direta (equivalente à regra de Sarrus) porque é simples de aplicar aqui.
  • Se \det(B)\neq 0 vou usar a fórmula
B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B),
onde \operatorname{adj}(B) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Vou explicar e calcular cada cofator explicitamente — isso é mecânico e dá um resultado exato sem frações complicadas.

Passo 3

Cálculo do determinante \det(B).
Para a matriz 3\times3 dada por B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\[4pt]b_{21}&b_{22}&b_{23}\\[4pt]b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix} o determinante pode ser calculado por
\det(B)=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}).
Aplicando aos elementos de B:
\det(B)=1\cdot(3\cdot2-1\cdot3)-2\cdot(1\cdot2-1\cdot1)+2\cdot(1\cdot3-3\cdot1).
Agora calculamos cada termo:
1\cdot(6-3)=3, \qquad -2\cdot(2-1)=-2\cdot1=-2, \qquad 2\cdot(3-3)=2\cdot0=0.
Somando,
\det(B)=3-2+0=1.
Como \det(B)=1\neq 0, a inversa existe. Observação prática: com determinante igual a 1 a inversa será exatamente a matriz adjunta (sem divisão por número diferente de 1), o que costuma dar entradas inteiras quando os cofatores são inteiros.]

Passo 4

Explicação: o que é a matriz dos cofatores e a adjunta.
  • Para cada posição (i,j) calcula-se o menor M_{ij}, que é o determinante da matriz 2\times2 obtida ao remover a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz dos cofatores é \big(C_{ij}\big). A adjunta é a transposta dessa matriz: \operatorname{adj}(B)=\big(C_{ji}\big).
  • Finalmente B^{-1}=(1/\det(B))\operatorname{adj}(B). Como \det(B)=1, teremos B^{-1}=\operatorname{adj}(B).

Passo 5

Cálculo dos menores M_{ij} e cofatores C_{ij} (vai sair a matriz dos cofatores).
Vamos calcular linha a linha.
  • Para (i,j)=(1,1): o menor é o determinante da matriz formada por remover linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}3&1\\[4pt]3&2\end{pmatrix}=3\cdot2-1\cdot3=6-3=3.
O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot3=3.
  • Para (i,j)=(1,2): menor
M_{12}=\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1.
Cofator
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot1=-1.
  • Para (i,j)=(1,3): menor
M_{13}=\det\begin{pmatrix}1&3\\[4pt]1&3\end{pmatrix}=1\cdot3-3\cdot1=3-3=0.
Cofator
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot0=0.
Agora linha 2:
  • Para (i,j)=(2,1): menor
M_{21}=\det\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]3&2\end{pmatrix}=2\cdot2-2\cdot3=4-6=-2.
Cofator
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot(-2)=2.
  • Para (i,j)=(2,2): menor
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]1&2\end{pmatrix}=1\cdot2-2\cdot1=2-2=0.
Cofator
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot0=0.
  • Para (i,j)=(2,3): menor
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]1&3\end{pmatrix}=1\cdot3-2\cdot1=3-2=1.
Cofator
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot1=-1.
Linha 3:
  • Para (i,j)=(3,1): menor
M_{31}=\det\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]3&1\end{pmatrix}=2\cdot1-2\cdot3=2-6=-4.
Cofator
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot(-4)=-4.
  • Para (i,j)=(3,2): menor
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=1-2=-1.
Cofator
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot(-1)=1.
  • Para (i,j)=(3,3): menor
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]1&3\end{pmatrix}=1\cdot3-2\cdot1=3-2=1.
Cofator
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot1=1.
Portanto a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -1\\[4pt] -4 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Formar a adjunta (transposta da matriz dos cofatores) e obter B^{-1}.
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(B)=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(B)=1, a inversa é
B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B)=1\cdot\operatorname{adj}(B)= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (confirmação).
Podemos verificar multiplicando B por B^{-1}. Por exemplo, a primeira linha de B é (1,2,2). Multiplicando por B^{-1} obtemos as colunas:
(1,2,2)\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}=3-2+0=1, \qquad (1,2,2)\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}=2+0-2=0, \qquad (1,2,2)\begin{pmatrix}-4\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}=-4+2+2=0.
Isso dá a primeira linha de I_3. Operações semelhantes para as demais linhas confirmam que B B^{-1}=I_3. Então o resultado está correto.]

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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