O pedido é: encontrar, se possível, a inversa de B.
Passos seguintes vão checar se a inversa existe e, se existir, calcular passo a passo o que ela vale.]
Passo 2
Critério de existência da inversa e método escolhido.
Uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Ou seja, é preciso calcular \det(B).
Para uma matriz 3\times3 existe uma fórmula direta para o determinante (regra de Sarrus ou expansão por co-fatores). Vou usar a fórmula direta (equivalente à regra de Sarrus) porque é simples de aplicar aqui.
Se \det(B)\neq 0 vou usar a fórmula
B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B),
onde \operatorname{adj}(B) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Vou explicar e calcular cada cofator explicitamente — isso é mecânico e dá um resultado exato sem frações complicadas.
Passo 3
Cálculo do determinante \det(B).
Para a matriz 3\times3 dada por B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\[4pt]b_{21}&b_{22}&b_{23}\\[4pt]b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix} o determinante pode ser calculado por
Como \det(B)=1\neq 0, a inversa existe. Observação prática: com determinante igual a 1 a inversa será exatamente a matriz adjunta (sem divisão por número diferente de 1), o que costuma dar entradas inteiras quando os cofatores são inteiros.]
Passo 4
Explicação: o que é a matriz dos cofatores e a adjunta.
Para cada posição (i,j) calcula-se o menor M_{ij}, que é o determinante da matriz 2\times2 obtida ao remover a linha i e a coluna j.
O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A matriz dos cofatores é \big(C_{ij}\big). A adjunta é a transposta dessa matriz: \operatorname{adj}(B)=\big(C_{ji}\big).
Finalmente B^{-1}=(1/\det(B))\operatorname{adj}(B). Como \det(B)=1, teremos B^{-1}=\operatorname{adj}(B).
Passo 5
Cálculo dos menores M_{ij} e cofatores C_{ij} (vai sair a matriz dos cofatores).
Vamos calcular linha a linha.
Para (i,j)=(1,1): o menor é o determinante da matriz formada por remover linha 1 e coluna 1: