Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
F=\left[\begin{array}{ll}6 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a inversa da matriz F de ordem 2\times2:
F = \begin{pmatrix} 6 & 2\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2, que consiste em achar o determinante e a matriz adjunta (trocar elementos da diagonal principal, mudar sinal dos elementos fora da diagonal e depois multiplicar tudo por 1/\det).

Passo 2

Calcular o determinante de F. Para uma matriz
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} temos
\det(F)=a\,d - b\,c.
Aqui a=6, b=2, c=1, d=1, logo
\det(F)=6\cdot1 - 2\cdot1 = 6 - 2 = 4.

Passo 3

Construir a matriz adjunta (também chamada de matriz dos cofatores transposta). Para
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} trocamos a com d e colocamos sinais trocados em b e c:
\text{adj}(F) = \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -1 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicar a matriz adjunta por 1/\det(F). Como \det(F)=4, temos
F^{-1} = \frac{1}{4}\, \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{2}{4}\\[6pt] -\frac{1}{4} & \frac{6}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}\\[4pt] -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

F^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}\\\\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.

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