Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
G=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 5 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
G = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 3 & 5 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o conceito de matriz inversa em \mathbb{R}^{3\times3}. Sabemos que, se \det(G)\neq 0, então
G^{-1} = \frac{1}{\det(G)}\,\mathrm{adj}(G),
onde \mathrm{adj}(G) é a adjunta (transposta da matriz de cofatores). Vamos usar esse método.

Passo 2

Primeiro, calculamos o determinante de G por expansão na primeira linha:
\det(G) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}5&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 0&1\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) = 1\,(5\cdot1-1\cdot1)-2\,(3\cdot1-1\cdot0) =4-6=-2.
Como \det(G)=-2\neq 0, G é invertível.

Passo 3

Agora a matriz de cofatores C tem entradas
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det\bigl(G\text{ sem linha }i\text{ e coluna }j\bigr).
Calculando cada cofactor obtemos
C = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 3\\\\ -2 & 1 & -1\\\\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta de G é a transposta de C:
\mathrm{adj}(G)=C^{T} =\begin{pmatrix} 4 & -2 & 2\\\\ -3 & 1 & -1\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente,
G^{-1} = \frac{1}{\det(G)}\,\mathrm{adj}(G) = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 & 2\\\\ -3 & 1 & -1\\\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1\\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Resposta

G^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1\\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

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