Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
H=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
H = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
que é triangular superior. Podemos enxergá-la como uma matriz de bloco
\begin{pmatrix} A & B\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
onde A = I_3 e B = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}. Para inverter, usamos a fórmula de matrizes em bloco.

Passo 2

A fórmula geral diz que
\begin{pmatrix} A & B\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -\,A^{-1}B\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
desde que A seja invertível. No nosso caso, A = I_3 implica A^{-1}=I_3 e, portanto,
-\,A^{-1}B = -\,B = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 3

Substituindo na fórmula, obtemos
H^{-1} = \begin{pmatrix} I_3 & -B\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Resposta

H^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

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