Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
E=\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
E = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\\\ 6pt 2 & 3 & 1 \\\\ 6pt 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
e pede E^{-1}. O conteúdo é inversão de matriz 3\times3 usando a fórmula
E^{-1} = \frac{1}{\det(E)} \,\mathrm{adj}(E),
ou seja, vamos calcular primeiro \det(E) e depois a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Calcular o determinante de E por expansão na primeira linha:
\det(E) =4\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Como
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =3\cdot2-1\cdot(-1)=7, \quad \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2-1\cdot1=3,
segue
\det(E)=4\cdot7 -1\cdot3 =28-3=25.

Passo 3

Calcular os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor obtido removendo linha i e coluna j. Encontramos:
C_{11}=+\,\det\begin{pmatrix}3&1\\\ -1&2\end{pmatrix}=7,\quad C_{12}=-\,\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}=-3,\quad C_{13}=+\,\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix}=-5,
C_{21}=-\,\det\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&2\end{pmatrix}=-2,\quad C_{22}=+\,\det\begin{pmatrix}4&0\\\ 1&2\end{pmatrix}=8,\quad C_{23}=-\,\det\begin{pmatrix}4&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}=5,
C_{31}=+\,\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&1\end{pmatrix}=1,\quad C_{32}=-\,\det\begin{pmatrix}4&0\\\ 2&1\end{pmatrix}=-4,\quad C_{33}=+\,\det\begin{pmatrix}4&1\\\ 2&3\end{pmatrix}=10.

Passo 4

A matriz de cofatores é
C = \begin{pmatrix} 7 & -3 & -5\\\\ -2 & 8 & 5\\\\ 1 & -4 & 10 \end{pmatrix},
sua transposta (adjunta) é
\mathrm{adj}(E)=C^{T} =\begin{pmatrix} 7 & -2 & 1\\\\ -3 & 8 & -4\\\\ -5 & 5 & 10 \end{pmatrix}.
Finalmente, dividimos por \det(E)=25 para obter
E^{-1} =\frac{1}{25} \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1\\\\ -3 & 8 & -4\\\\ -5 & 5 & 10 \end{pmatrix}.

Resposta

E^{-1} =\frac{1}{25} \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1\\\\ -3 & 8 & -4\\\\ -5 & 5 & 10 \end{pmatrix}.

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