Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Esse problema é de Álgebra Linear: para encontrar D^{-1} usamos a fórmula
D^{-1} = \frac{1}{\det(D)}\,\mathrm{adj}(D),
onde \det(D) é o determinante de D e \mathrm{adj}(D) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Vamos calcular \det(D) por expansão na primeira linha:
\det(D) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Cada determinante 2\times 2
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-(-1)\cdot1=4, \quad \det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-(-1)\cdot2=2, \quad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot2=-2.
Logo
\det(D)=1\cdot4-2\cdot2+1\cdot(-2)=4-4-2=-2.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}) com
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor de ordem 2 obtido removendo linha i e coluna j. Calculando todos, obtemos
C = \begin{pmatrix} \;4 & -2 & -2\\\\ -5 & \;1 & \;3\\\\ -3 & \;1 & \;1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de D é a transposta de C:
\mathrm{adj}(D) = C^{T} = \begin{pmatrix} \;4 & -5 & -3\\\\ -2 & \;1 & \;1\\\\ -2 & \;3 & \;1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, aplicamos
D^{-1} = \frac{1}{\det(D)}\,\mathrm{adj}(D) = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \;4 & -5 & -3\\\\ -2 & \;1 & \;1\\\\ -2 & \;3 & \;1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] \;1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \;1 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

D^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2}\\\ \;1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\\ \;1 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

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