Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
M=\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é inversão de matriz triangular superior com todos os elementos da diagonal iguais a 1. Vamos usar a resolução de M x = b por retro-substituição para identificar M^{-1}.

Passo 2

Seja b=(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)^T e x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T a solução de
M\,x = b.
Da quinta equação vem
x_5 = b_5.
Da quarta equação
x_4 + 4\,x_5 = b_4 \quad\Longrightarrow\quad x_4 = b_4 - 4\,b_5.
De modo análogo,
x_3 = b_3 - 3\,b_5, \quad x_2 = b_2 - 2\,b_5, \quad x_1 = b_1 - 1\,b_5.
Portanto, para qualquer vetor b,
x = M^{-1}b = \begin{pmatrix} b_1 - b_5\\\ b_2 - 2b_5\\\ b_3 - 3b_5\\\ b_4 - 4b_5\\\ b_5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Comparando com a definição de multiplicação por M^{-1}, vemos que em M^{-1}:
  • os elementos da diagonal são 1,
  • os únicos outros não nulos estão na última coluna, e valem -1,-2,-3,-4,1.

Resposta

M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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