Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
L=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
L = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Este é um sistema linear tridiagonal simétrico. Para encontrar L^{-1}, podemos resolver Lx=e_k para k=1,2,3,4, onde e_k é o k-ésimo vetor canônico. Cada solução x será uma coluna de L^{-1}.

Passo 2

Calculemos Lx=e_1\). Escrevemos o sistema \[\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 1,\\\ x_1 + 2x_2 + x_3 = 0,\\\ x_2 + 2x_3 + x_4 = 0,\\\ x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases}
Da última equação vem x_3 = -2x_4\]. Substituindo em cima e resolvendo por retrosubstituição, obtemos \[x = \begin{pmatrix}4/5\\\\ -3/5\\\\ 2/5\\\\ -1/5\end{pmatrix}.\] Esta é a primeira coluna de \(L^{-1}.

Passo 3

Agora Lx=e_2\), i.e. \[\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 0,\\\ x_1 + 2x_2 + x_3 = 1,\\\ x_2 + 2x_3 + x_4 = 0,\\\ x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases}
Repetindo a retrosubstituição, achamos
x = \begin{pmatrix}-3/5\\\\ 6/5\\\\ -4/5\\\\ 2/5\end{pmatrix}.
Esta é a segunda coluna de (L^{-1}].

Passo 4

Como L é simétrica, L^{-1} também é. Assim, a terceira e quarta colunas podem ser obtidas observando a simetria (ou repetindo o processo para e_3 e e_4). O resultado completo é
L^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 & -1\\\\ -3 & 6 & -4 & 2\\\\ 2 & -4 & 6 & -3\\\\ -1 & 2 & -3 & 4 \end{pmatrix}.

Resposta

L^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 & -1\\\\ -3 & 6 & -4 & 2\\\\ 2 & -4 & 6 & -3\\\\ -1 & 2 & -3 & 4 \end{pmatrix}.

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