Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 4 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 4 & 2\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2
M = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
sabemos que, se \det(M)=ad-bc\neq0, então
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Vamos aplicar isso em A.

Passo 2

Calcular o determinante de A:
\det(A) = 3\cdot2 \;-\; 1\cdot4 = 6 - 4 = 2.

Passo 3

Formar a matriz dos cofatores transposta (adjunta) trocando 3 por 2 e mudando o sinal de 1 e 4:
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -4 & 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -4 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2} \\\ [6pt] -2 & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2} \\\ [4pt] -2 & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.

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