Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}[f(t)], sendo f(t)=\left\{\begin{array}{c}0, \text { se } t<2 \\\ (t-2)^{2}, \text { se } t \geq 2\end{array}\right.$

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace \mathcal{L}[f(t)] de uma função definida por
f(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\\ (t-2)^{2}, & t\ge2. \end{cases}
O conteúdo é transformada de Laplace de funções deslocadas no tempo e vamos usar a propriedade do deslocamento (Heaviside).

Passo 2

Repare que podemos escrever
f(t) = (t-2)^{2}\,u(t-2),
onde u(t-2) é a função de Heaviside que “liga” a partir de t=2.

Passo 3

Pela propriedade de deslocamento no tempo, se g(t)=t^{2} então
\mathcal{L}\bigl[g(t-a)\,u(t-a)\bigr] = e^{-a s}\,\mathcal{L}\bigl[g(t)\bigr].
Aqui a=2, logo
\mathcal{L}[f(t)] = e^{-2s}\,\mathcal{L}[t^{2}].

Passo 4

Sabemos que
\mathcal{L}[t^{2}] = \frac{2!}{s^{3}} = \frac{2}{s^{3}}.
Substituindo, obtemos
\mathcal{L}[f(t)] = e^{-2s}\,\frac{2}{s^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}[f(t)] = \frac{2\,e^{-2s}}{s^{3}}.

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