Se
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e
e
, expresse
(a)
,
(b)
,
em termos de derivadas parciais de
com respeito a
ou
.
(a)
(b)
em termos de derivadas parciais de
Passo 1
O enunciado diz que
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que
Precisamos usar a regra de cadeias para obter (a)
e depois (b)
em termos de
,
,
,
e
.
Passo 2
Para calcular
aplicamos a regra de cadeias:
Como
e
, temos
Passo 3
Para obter
derivamos
em relação a
, mantendo
constante:
Passo 4
Agora aplicamos a regra de cadeias a
e
:
Substituindo em
:
e portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)