Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e x=r^{2}+s^{2} e y=2 r s, expresse
(a) \frac{\partial z}{\partial r},
(b) \frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}},
em termos de derivadas parciais de z com respeito a x ou y.

Passo 1

O enunciado diz que z=f(x,y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que
x = r^2 + s^2, \quad y = 2\,r\,s.
Precisamos usar a regra de cadeias para obter (a) \partial z/\partial r e depois (b) \partial^2 z/\partial r^2 em termos de f_x, f_y, f_{xx}, f_{xy} e f_{yy}.

Passo 2

Para calcular \partial z/\partial r aplicamos a regra de cadeias:
\frac{\partial z}{\partial r} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r}.
Como
\partial x/\partial r = 2r e \partial y/\partial r = 2s, temos
\frac{\partial z}{\partial r} =2r\,f_x + 2s\,f_y.

Passo 3

Para obter \partial^2 z/\partial r^2 derivamos \partial z/\partial r em relação a r, mantendo s constante:
\frac{\partial^2 z}{\partial r^2} =\frac{\partial}{\partial r}\bigl(2r\,f_x + 2s\,f_y\bigr) =2\,f_x + 2r\,\frac{\partial}{\partial r}(f_x) + 2s\,\frac{\partial}{\partial r}(f_y).

Passo 4

Agora aplicamos a regra de cadeias a \partial(f_x)/\partial r e \partial(f_y)/\partial r:
\frac{\partial}{\partial r}(f_x) =f_{xx}\,\frac{\partial x}{\partial r}+f_{xy}\,\frac{\partial y}{\partial r} =2r\,f_{xx}+2s\,f_{xy},
\frac{\partial}{\partial r}(f_y) =f_{yx}\,\frac{\partial x}{\partial r}+f_{yy}\,\frac{\partial y}{\partial r} =2r\,f_{xy}+2s\,f_{yy}.
Substituindo em \partial^2 z/\partial r^2:
\frac{\partial^2 z}{\partial r^2} =2\,f_x +2r\bigl(2r\,f_{xx}+2s\,f_{xy}\bigr) +2s\bigl(2r\,f_{xy}+2s\,f_{yy}\bigr)
e portanto
\frac{\partial^2 z}{\partial r^2} =2\,f_x + 4r^2\,f_{xx} + 8\,r\,s\,f_{xy} + 4s^2\,f_{yy}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial z}{\partial r}=2r\,f_x+2s\,f_y.
(b) \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial r^2} =2\,f_x +4r^2\,f_{xx}+8\,r\,s\,f_{xy}+4s^2\,f_{yy}.

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