Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
K=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 4 & 1 & 7 \end{pmatrix}
O conteúdo é inversão de matriz 3\times3, que podemos fazer calculando o determinante, a matriz de cofatores, sua transposta (adjunta) e dividindo pelo determinante.

Passo 2

Calcular o determinante de K pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace na primeira linha:
\det(K) =1\cdot(1\cdot7-3\cdot1)\;-\;0\cdot(2\cdot7-3\cdot4)\;+\;1\cdot(2\cdot1-1\cdot4) =1\cdot4+1\cdot(-2)=2.

Passo 3

Determinar os menores e cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}:
M_{11}=4, C_{11}=4
M_{12}=2, C_{12}=-2
M_{13}=-2, C_{13}=-2
M_{21}=-1, C_{21}=1
M_{22}=3, C_{22}=3
M_{23}=1, C_{23}=-1
M_{31}=-1, C_{31}=-1
M_{32}=1, C_{32}=-1
M_{33}=1, C_{33}=1.

Passo 4

Formar a matriz de cofatores e depois sua transposta (adjunta):
\operatorname{cof}(K)= \begin{pmatrix} 4 & -2 & -2\\\\ 1 & 3 & -1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \operatorname{adj}(K)=\bigl(\operatorname{cof}(K)\bigr)^{T} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1\\\\ -2 & 3 & -1\\\\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Dividir a adjunta pelo determinante para obter a inversa:
K^{-1}=\frac{1}{\det(K)}\,\operatorname{adj}(K) =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1\\\\ -2 & 3 & -1\\\\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ -1 & \tfrac32 & -\tfrac12\\\\ -1 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

K^{-1}= \begin{pmatrix} 2 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ -1 & \tfrac32 & -\tfrac12\\\\ -1 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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